Fibonacci niz, puževa i zlatna sredina

Source: https://math.temple.edu/~reich/Fib/fibo.html

Fibonačijev niz pokazuje određenu brojčanu obrazac koji je nastao kao odgovor na vježbu u prvu srednju školu algebra tekst. Ovaj obrazac se ispostavilo da imaju interes i značaj daleko izvan onoga što njegov tvorac zamislio. Može se koristiti za modeliranje ili opisati neverovatan raznih fenomena, u matematici i znanosti, umjetnosti i prirode. Matematičke ideje Fibonačijev niz vodi, kao što je zlatni omjer, spirale i samo- slične krivulje, već dugo cijenjena za svoje šarm i ljepotu, ali niko ne može stvarno objasniti zašto su odjekivali tako jasno u svijetu umjetnosti i prirode.

Priča je počela u Pizi, Italija u godini 1202. Leonardo Pisano Bigollo bio mladić u svojim dvadesetim godinama, član važno trgovačko porodice Pisa. Na svojim putovanjima širom Bliskog istoka, bio je očaran matematičke ideje koja je došla zapadno od Indije preko arapskih zemalja. Kada se vratio u Pisa objavio je ovih ideja u knjizi o matematici zove Liber Abaci, koja je postala orijentir u Evropi. Leonardo, koji je u međuvremenu postao poznat kao Fibonacci, postao je najslavniji matematičar srednjeg vijeka. Njegova knjiga je diskurs o matematičke metode u trgovini, ali je sada zapamćena uglavnom za dva doprinosa, jedan očito važno u to vrijeme i jedan naizgled beznačajan.

Je važno: on je skrenuta pažnja Evrope Hindu sistem za brojeve pisanje. Evropska trgovaca i učenjaci su se još drži na upotrebu starog rimskim brojevima; moderne matematike bi bilo nemoguće bez ove promjene na hindu sistem, koji zovemo arapski zapis, jer je došao na zapad kroz arapski zemalja.

Drugi: skriven u listu mozga teasera, Fibonacci postavio sljedeće pitanje:

Ako je par zečeva smješten u zatvorenom prostoru, koliko kunića će se roditi tamo, ako pretpostavimo da svaki mjesec par zečeva proizvodi još jedan par, i da zečevi početi nositi mladi dva mjeseca nakon rođenja?

Ova naizgled nevino malo pitanje ima kao odgovor određeni niz brojeva, poznat sada kao Fibonačijev niz, što se ispostavilo da je jedan od najzanimljivijih ikada zapisano. Ona je ponovo otkrio u zapanjujuće različitim oblicima, u granama matematike daleko izvan jednostavnih aritmetike. Njegova metoda razvoja doveo je do dalekosežne aplikacije iz matematike i informatike.

Ali još više fascinantno je iznenađujuća pojava Fibonacci brojeva, i njihov relativni omjer, u arenama daleko od logičku strukturu matematike: u prirodi i umjetnosti, u klasičnoj teorije ljepote i proporcije.

Razmotrimo elementarne primjer geometrijskog rasta – aseksualna reprodukcija, kao i da je od ameba. Svaki organizam dijeli na dva nakon intervala vremena sazrijevanja karakteristika vrste. Ovaj interval varira nasumično, ali unutar određenog raspona prema vanjskim uvjetima, kao što su temperatura, dostupnost hranjivih tvari i tako dalje. Možemo zamisliti pojednostavljen model gdje, pod savršenim uvjetima, sve amebe split nakon istog perioda rasta.

Dakle, jedan amebe postaje dva, dva postao 4, zatim 8, 16, 32, i tako dalje.

Dobijamo udvostručenje slijed. Obratite pažnju na rekurzivna formula:

  • An = 2An

To, naravno, dovodi do eksponencijalnog rasta, jedna od karakteristika obrazac rasta stanovništva.


Sada u zeca situaciji Fibonacci, tu je faktor lag; svaki par potrebno neko vrijeme da sazrije. Dakle, mi pretpostavljamo

  • vrijeme sazrijevanja = 1 mjesec
  • vrijeme trudnoće = 1 mjesec

Ako ste bili da probate ovo u svom dvorištu, evo šta će se desiti:


Sada da se računalo nacrtati još nekoliko linija:



Obrazac vidimo ovdje je da svaki kohorte ili generacija ostaje kao integralni dio sljedećeg, a osim toga, svaki odrastao par doprinosi bebu par. Broj takvih beba parova odgovara ukupnom broju parova u odnosu na prethodnu generaciju. simbolično

  • Fn = broj parova u toku mjeseca n
  • Fn = Fn-1 + Fn-2

Dakle, imamo rekurzivna formula u kojoj se definira svaka generacija u smislu prethodne dvije generacije. Koristeći ovaj pristup, možemo sukcesivno izračunati Fn onoliko generacije kako mi to volimo.

Dakle, ovo niz brojeva 1,1,2,3,5,8,13,21, … i rekurzivna način izgradnje je ad infinitum, rješenje za Fibonacci slagalice. Ali ono što Fibonacci nije mogao da predvidi je bezbroj aplikacija koje ove brojeve i ova metoda će na kraju imati. Njegova ideja je bila plodnija od svog kunića. Samo u smislu čiste matematike – teorija broj, geometrija i tako dalje – obim njegova ideja je bila toliko velika da je čitav stručni časopis posvećena je to – kvartalno Fibonacci.

Sada pogledajmo još jedan razumno prirodnih situacija u kojoj isti niz “misteriozno” iskoči. Vratite se 350 godina u Francuskoj 17. stoljeća. Blaise Pascal je mladi Francuz, učenjak koji je rastrzan između svoje uživanje geometrije i matematike i njegova ljubav za religije i teologije. U jednom od svojih više zemaljskih trenutaka on konsultuju prijatelj, profesionalni kockar, Chevalier de Mé ré, Antoine Gombaud. Chevalier pita Pascal neka pitanja u vezi predstave na kockice i kartice, te o pravilnom podjelom ulog u nedovršenoj igri. odgovor Pascal je da izmisle potpuno nova grana matematike, teorije vjerojatnosti. Ova teorija je narasla tijekom godina u vitalno sredstvo 20. stoljeća za nauku i društvene nauke. Pascal rad u velikoj mjeri oslanja na skup brojeva sada zove Pascal trougao, i predstavlja ovako:

Ova konfiguracija ima mnogo zanimljivih i važna svojstva:

  • Obratite pažnju na lijevo-desno simetrija – to je vlastitu sliku u ogledalu.
  • Imajte na umu da u svakom redu, drugi broj računa reda.
  • Imajte na umu da u svakom redu, 2. + 3. Broji brojeva iznad te linije.

Postoje beskrajne varijacije na ovu temu.
Zatim, primetili šta se dešava kada saberemo brojeve u svakom redu – dobijamo dupliranje slijed.

Sada za vizualne udobnosti nacrtati trokut lijevo-opravdano. Saberete brojeve na različitim dijagonalama …

i dobijemo 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,. . . Fibonacci slijed!

Fibonacci nije mogao znati o vezi između njegovog zečevi i teorije vjerovatnoće – teorija nije postojao do 400 godina kasnije.

Ono što je zaista zanimljivo o slijed Fibonacci je da je njegov obrazac rasta u neki misteriozan način odgovara snagama kontrolu rasta u veliki izbor prirodnih dinamičkih sistema. Sasvim analogan reprodukciju kunića, uzmimo porodično stablo pčele – tako gledamo predaka, a ne potomci. U pojednostavljenom reproduktivnog modela, mužjak pčele vratašca iz neoplođenih jaja i tako on ima samo jednog roditelja, dok se ženski vratašca iz oplođene jajne i ima dva roditelja. Ovdje je porodično stablo tipičnog muškog pčela:

Imajte na umu da ovo izgleda kao zeca grafikonu, ali kreće unazad u vremenu. Muški preci u svakoj generaciji formiraju Fibonaccijev niz, kao i ženski predaka, kao što to čini ukupno. Možete vidjeti iz drvo koje pčela društvo ženski dominira.

Najpoznatiji i lijepe primjere pojave Fibonaccijev niz u prirodi se nalaze u različitim drveća i cvijeća, uglavnom asocirani sa nekom vrstom spiralne strukture. Na primjer, odlazi na stabljike cvijeta ili grane stabla često raste u spiralni obrazac, spiralno aroung grana kao novi lišće formiraju dalje van. Zamislite ovo: Imate grana u ruci. Obratite pažnju na određenoj list i početi brojanje okolo i prema vani. Računati lišće, i brojati broj poteza oko grane, dok se ne vratite na poziciju koja odgovara originalnom list, ali dalje duž grane. Oba broja će biti Fibonacci brojeve.

Na primjer, za kruške će biti 8 lišća i 3 kruga. Evo nekih primera:
Grane Fibonacci porodice
Drvo                Lišće   Skretanja
Brijest             2           1
Cherry             3          2
Bukva              3          1
Topola             5          2
Žalosne vrbe  8          3
Kruška            8          3
Badema          13        8

Možete prošetati u parku i da je ovo obrazac na biljke i grmlja vrlo lako.

Mnogi cvijeće pruža prekrasan potvrda Fibonacci mistike. A Daisy ima centralnu jezgru koja se sastoji od sitnih cvetova raspoređeni u suprotnim spiralama. Tu su obično 21 ide na lijevo i 34 na desnoj strani. Planina aster može imati 13 spirala na lijevoj i 21 na desnoj strani. Suncokreti su najspektakularniji primjer, obično ima 55 spirala u jednom pravcu i 89 u drugoj; ili, u najboljem sorti, 89 i 144.

Šišarke su također izgrađene u spiralu način, male imaju obično s 8 spiralama jedan način i 13 s druge strane. Najinteresantniji je ananas – izgrađen od susjednih heksagona, tri vrste spirala se pojaviti u tri dimenzije. Postoji 8 na desno, 13 lijevo, a 21 vertikalno – što je Fibonacci trostruko.

Zašto bi to bilo? Zašto je Majka Priroda pronašao evolutivna prednost u uređenje biljnih struktura u spiralu oblika izlaže slijed Fibonacci?

Mi nemamo određene odgovor. 1875. godine, matematičar po imenu Wiesner dao matematički demonstracija da je spiralni raspored lišće na grani u Fibonacci proporcijama je efikasan način da se okupe u maksimalnom iznosu od sunčevih zraka sa nekoliko listova – on je tvrdio, na najbolji način. Ali je nedavno, a Cornell University botaničar po imenu Karl Niklas odlučio testirati hipotezu u svojoj laboratoriji; otkrio je da gotovo svaki razuman raspored lišća ima istu sposobnost suncu prikupljanja. Dakle, mi smo još uvijek u mraku o svjetlu.

Ali ako mislimo u smislu obrasce prirodnog priraštaja mislim da možemo početi da shvati prisustvo spirale i veza između spirale i Fibonačijev niz.

Spirale proizlaze iz imovine rasta zove samosličnosti ili skaliranje – tendencija da raste u veličini, ali da se održi isti oblik. Nisu svi organizmi rastu u ovom samo-sličan način. Vidjeli smo da odrasle osobe, na primjer, ne samo povećava se beba: bebe imaju veće glave, kraće noge, a duži torzo u odnosu na njihovu veličinu. Ali ako pogledamo na primjer na školjku komorom Nautilus vidimo differnet obrazac rasta. Kao nautilus nadrasta svaku komoru, gradi novi komore za sebe, uvijek isti oblik – ako zamislite veoma dugotrajni nautilus, njegova bi granata spiralno oko i oko, postaju sve veći, ali uvijek u potrazi isto na svakom nivou.

Ovdje je mjesto gdje Fibonacci dolazi u – možemo izgraditi četverougaonu vrstu Nautilus počinju sa kvadrat veličine 1 i sukcesivno gradi na novim prostorijama čija veličina odgovara Fibonaccijev niz:

Prolazi kroz centre trgova kako bi sa glatkom krivu dobijamo Nautilus spirala = suncokreta spirala.

Ovo je poseban spirala, self-sličan kriva koja zadržava svoj oblik na svim skalama (ako zamisliti izmicala zauvijek). To se zove jednakougaoni jer radijalne linije od centra uvijek čini isti ugao na krivu. Ova kriva je bio poznat Arhimed antičke Grčke, najveći geometar davnih vremena, a možda i svih vremena.

Trebalo bi da stvarno misliš ove krivulje kao spiralno prema unutra zauvijek, kao i prema vani. Teško je da bi privukli; možete vizualizirati vode vrtložne oko malog drainhole, biti uvučena u bliži jer spirale ali nikada pada u Ovaj efekat se govori još jedan klasični mozga teaser.:

Četiri bube stoje na četiri ugla kvadrata. Oni su gladni (ili usamljeni) i na istom trenutku svaki od njih vidi bug na sljedećem uglu preko i početi puzeći prema njemu. Šta se dešava?

Slika je priča. Dok su puzati jedni prema drugima oni spiralno u centru, uvijek formira sve manje kvadratnih, okreće i oko zauvijek. Ipak, oni do jedni druge! To nije paradoks, jer je dužina ove spirale je konačna. Oni prate se isto jednakougaoni spirala.

Sada jer su sve ove spirale su sebi slične oni izgledaju isto na svakom skala – skala nije bitno. Ono što je bitno je proporcija – ove spirale imaju fiksnu proporcija određuju njihov oblik. Ispostavilo se da je ovaj odnos je isti kao i proporcije generiše uzastopnih unosa u Fibonačijev niz: 5: 3, 8: 5,13: 8, i tako dalje. Ovdje je izračun:

Proporcije Fibonacci

Kao što smo ići dalje u slijed, proporcije susjednih termina počinje da se približi fiksnu granična vrijednost 1,618034. . . Ovo je vrlo poznati odnos sa dugom i čast povijest; Zlatna srednja vrijednost Euclida i Aristotela, božanski udio Leonardo daVinci, smatra najlepšim i važna količina. Ovaj broj ima više primamljiva svojstva nego što možete zamisliti.

Do jednostavna računica, vidimo da, ako oduzmemo 1 dobijamo .618. . što je i njegova recipročna. Ako tome dodamo 1 dobijamo 2.618. . . što je i njegova trgu.

Koristeći tradicionalni naziv za ovaj broj, grčko slovo Φ (“fi”), možemo pisati simbolično:

Rješavanje ovog kvadratna jednačina dobijamo

Evo još nekih čudnih ali fascinantne izraze koji se mogu izvesti:

, beskonačnu kaskada korijena.

, beskonačnu kaskadu frakcija.

Koristeći ovaj zlatni odnos kao temelj, možemo izgraditi eksplicitnu formulu za brojeve Fibonacci:

Formula za brojeve Fibonacci:

Ali Grci su imali više vizualni gledišta o zlatna sredina. Pitali su: što je najprirodniji i dobro proporcionalan način podijeliti linija na 2 komada? Nazvali su ovo poglavlje. Grci su smatrali snažno da idealni treba da odgovara odnos između dijelova sa onim dijelovima u cjelini. Ovo rezultira u količini tačno Φ.

Formiranje pravougaonik sa sljedećim linije kao strane rezultati u vizualno ugodan oblik koji je bio temelj njihove umjetnosti i arhitekture. Ovaj estetski je usvojen od strane velikih renesanse umjetnici u slikarstvu, i dalje je s nama danas.


Dan Reich
Odjel za matematiku, Temple University

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *