Što je topologije? – the-sciences

Source: http://www.math.wayne.edu/~rrb/topology.html

Kratko i idiosinkratsko odgovor

U osnovi, topologija je moderna verzija geometrije, proučavanje svih različitih vrsta prostora. Ono što razlikuje različite vrste geometrije jedni od drugih (uključujući i topologija ovdje kao neka vrsta geometrije) je u vrstama transformacija koje su dozvoljene prije nego što stvarno uzeti u obzir nešto promijenilo. (Ovo gledište je prvi put predložio Felix Klein, poznati njemački matematičar od kasnih 1800-i ranih 1900-ih.)

U običnom geometrija Euklidskom, možete se stvari oko sebe i okrenite ih, ali ne možete rastegnuti ili saviti ih. To se zove “podudarnost” u geometriji klasi. Dve stvari su podudarni ako možete postaviti jedan na vrhu druge na takav način da se u potpunosti odgovarati.

U projektivne geometrije, izmislio tokom renesanse da shvati perspektive crtež, dvije stvari se smatraju isto ako su oba prikaza istog objekta. Na primjer, pogledajte tanjir na stolu direktno iznad stola, i ploča izgleda krug, kao krug. Ali hoda nekoliko metara i pogleda, a to izgleda mnogo šire nego dug, kao što su elipse, zbog ugla si u. Elipse i kruga su projectively ekvivalent.

To je jedan od razloga što je teško naučiti da bi privukli. Oči i um rade projectively. Gledaju ovom eliptičan ploče na stolu, i mislim da je to krug, jer znaju šta se dešava kada pogledate na stvari pod uglom tako. Da biste saznali da bi privukli, morate naučiti da bi privukli elipsu iako vaš um govori “krug”, tako da možete izvući ono što zaista vidjeti, umjesto “ono što znaju da je”.

U topologije, bilo kontinuirane promjene koje se mogu kontinuirano poništiti je dozvoljeno. Dakle, krug je isto kao trougao ili kvadrat, jer ste upravo `povući na” dijelove kruga da uglovima, a zatim ispravi strane, da promenite krug u kvadrat. Onda samo “izgladiti to” da ga vrati u krug. Ova dva procesa su kontinuirano u smislu da tokom svakog od njih, u neposrednoj blizini mjesta, na početku su još uvijek u blizini na kraju.

Krug nije isto kao figura 8, jer iako možete zgazi usred kruga zajedno kako bi ga u figura 8 neprekidno, kada pokušate da ga poništiti, morate razbiti vezu u sredini i ovaj je diskontinuirani: tačke koje su sve u blizini centra od osam kraju se podijeliti u dvije serije, na suprotnim stranama kruga, udaljeni.

Još jedan primjer: tanjir i posudu su isti topološki, jer možete samo poravnati posudu u ploču. U najmanju ruku, to je istina ako koristite gline koja je još uvijek meka i još nije dobio otkaz. Kada oni otkaz postaju euklidska, nego topološka, jer ne možete poravnati posudu duže bez lomljenja ga.

Topologija je gotovo najosnovniji oblik geometrije postoji. To se koristi u gotovo svim granama matematike u jednom ili drugom obliku. Tu je još osnovni oblik geometrije zove homotopije teorija, što je ono što sam zapravo studiram većinu vremena. Koristimo topologija za opisivanje homotopije, ali u homotopski teoriji dozvolimo toliko različitih transformacija koje su rezultat je više kao algebra nego kao topologije. Ovo ispada da bi bilo zgodno ipak, jer jednom kada je neka vrsta algebre, to možete učiniti proračune, i stvarno srediti stvari! I, iznenađujuće, mnoge stvari ovise samo o ovom više osnovnu strukturu (tip homotopije), a ne na topološki tip prostora, tako da proračuni ispostavi da vrlo koristan u rješavanju problema u geometriji mnogih vrsta.

Za opširnije esej na ovu temu sa šarmantnim dijagramima, pogledajte odgovor Neila Stricklanda, a za indeks povezanih eseja, pogledajte listi Dona Davisa.