Linije tangenti na četiri trokuta

Original: https://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/4triangles/index.html

H. Brönnimann, O. Devillers, S. Lazard, i F. Sottile

Razmatramo sljedeće jednostavno geometrijsko pitanje: Koji je maksimalan broj linija koje su tangente na četiri trokuta? (Odnosno, računamo linije koje se susreću s jednim rubom iz svakog trokuta.) Radi jednostavnosti pretpostavljamo da su trokuti u prikladnom općenitom položaju, jer algebarska relaksacija gdje rubove zamjenjujemo potpornim linijama ima samo konačno mnogo rješenja. (Zapravo 162 različita složena rješenja.)

Tražimo maksimalan mogući broj, jer je minimum nula: Ako su četiri trokuta dovoljno udaljena, recimo na četiri ugla vrlo velike sobe, tada neće biti takvih uobičajenih transverzala.

Trenutno je najbolji odgovor na ovo pitanje da je maksimalan broj između 62 i 162, s gornjom granicom 156 ako su trokuti nepodudarni. Gornja granica gotovo sigurno nije najbolja moguća, a također sumnjamo u optimalnost donje granice. Ova donja granica je zbog konstrukcije koju opisujemo na ovoj stranici (povezana sa slikom dolje desno). Ova konstrukcija uključuje narušavanje četiri segmenta linija koji imaju dvije zajedničke transverzale, a svaki od rezultirajućih trokuta ima jedan izuzetno mali kut – prilično su tanki. Naša najbolja konstrukcija koja uključuje četiri masna trokuta ima 40 zajedničkih transverzala. Opis pretraživanja računara pomoću kojeg smo pronašli ovaj primjer povezan je sa slikom dolje lijevo, kao i animacijama.

Ova WWW stranica prati naš članak na ovu temu O broju tangenti linija na četiri trokuta u trodimenzionalnom prostoru.

Slike su povezane sa daljom diskusijom


       
Animacije: 841 kB   2100 kB   4198 kB.         Animacije: 86 kB   215 kB526 kB.

Na osnovu rada podržanog od strane Nacionalne fondacije za nauku pod CAREER Grant DMS-0134860.


Napisano dalje: 30. decembra 2004. godine, Frank Sottile

Posljednja izmjena: Ponedjeljak 1. travnja 12:28:59 MDT 2019

Rekreacijski problemi u geometrijskim disekcijama i kako ih riješiti

Original: https://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/book0.html

autor Harry Lindgren, a revidirao Greg Frederickson, a objavio Dover Publications

Meki omot: 1972.

Ratimo se na vrijeme – tako, natrag – u 1972. godinu, kada je 25-godišnji učitelj matematike u nižoj srednjoj školi u Baltimoru, Maryland napisao sljedeći predgovor za reviziju knjige Harryja Lindgrena iz 1964. godine Geometrijske disekcije:

Prije nekoliko godina pokupio sam prvo izdanje ove knjige. To me je odmah fasciniralo. Nije da sam zaista razumio kako su smišljene disekcije — pretpostavljam da su me samo privukli dijagrami. Isključio bih i povukao knjigu s police s knjigama i proveo sat vremena diveći se ljepoti disekcija. Posebno mi se svidjelo poglavlje o disekcijama zvijezda i pitao sam se kako bilo tko može ikad shvatiti nešto tako lijepo. Nikad nisam mislio da mogu.

Ali tada se možda disekcije uvijek događaju slučajno. U ranim jutarnjim časovima, 30. maja 1971., bavio sam se disekcijom Harryja Lindgrena {8/2} na {4} (Sl. 19.6). Odjednom sam shvatio da sam za jedan smanjio broj komada potrebnih za seciranje. Divlja “eureka!” eksplodirao: imao sam svoju prvu disekciju! Mnogo više ih je došlo od tada. Uvijek su bili neočekivani – dolaze prije posla, kasno u noć, za vrijeme obroka ili u neko drugo vrijeme kada je bilo planirano nešto drugo.

I nakon svake par seciranja požurio bih da ih kopiram i zatim pošaljem na pola svijeta Harryju Lindgrenu u Australiju. To mu se moralo činiti čudnim: napisati knjigu prije osam godina koja je lagano kliznula na popise knjiga o rekreacijskoj matematici: tada je odjednom obilato pismo Amerike odbacilo uzbuđenog mladića koji se činilo da se boji umrijeti prije nego što je posljednja disekcija bila u tuđim rukama. Harry Lindgren, koji se nakon objavljivanja knjige obratio drugim interesima, strpljivo je odgovorio na sva ova pisma, s razumijevanjem i ohrabrenjem. Jer je znao snagu koju takav predmet može imati na jednom.

Budući da sam dijelove djela zastario, Harry Lindgren dodijelio mi je odgovornost revizije njegove knjige. To sam učinio dodavanjem Dodatka H i ispravljanjem i dodavanjem unosa u Prilozima E i F. Ova metoda revizije izabrana je zbog ispravljanja glavnog dijela teksta, tako da je knjiga mogla brzo i jeftino biti objavljena. Štaviše, zastarjele sekcije preostale u tekstu pružaju dodatnu prednost; uspoređujući nove disekcije s onima u tekstu, čitatelj može vidjeti kako su disekcije poboljšane i kako su popunjene praznine u tekstu. Za ambicioznog čitatelja to ostavlja izazov: još uvijek postoje praznine i sigurno nisu sve disekcije minimalni. Ko će pisati sljedeći prilog?

Ja bih da se zahvalim Joseph S. Madachy, urednik Časopis za rekreaciju matematike, za podsticanje da napišem članke iz koje mnogo Dodatka H dolazi. Zahvaljujući također idu u Martin Gardner, koji je bio instrumentalan u dobijanju ovoj knjizi reprint. Konačno, posebnu riječ zahvalnosti Harry Lindgren, koji kroz svoju knjigu me je upoznao sa fascinantan razonoda.

 

Priroda i moć matematike

Original: https://www.lehigh.edu/~dmd1/book.html

Donald M. Davis

Ovu knjigu objavio je Princeton University Press u decembru 1993. godine. U mekom uvezu, ISBN mu je bio 0-691-02562, ali je Princeton prodao sve njihove kopije.

Je ponovo objavljen od strane Dover Publications u decembru 2004. godine novi ISBN je 0-486-43896-1, i to po cijeni od $ 19.95. Prodaja novih i polovnih kopije dostupni su na amazon.com.

Nakladnik izdavača glasi:

U ovoj zanimljivoj knjizi, Donald Davis objašnjava nespecijalistima neke od najfascinantnijih ideja iz matematike, naglašavajući njihov filozofski i istorijski interes, njihovu često iznenađujuću primjenjivost i njihovu ljepotu. Tri glavne teme o kojima se raspravlja su neeuklidska geometrija, sa njenom primenom na teoriju relativnosti; teorija brojeva, s primjenom na kriptografiju; i fraktali, koji su primjena u umjetnosti, između ostalog, ranog matematičkog rada na iteraciji. Druge teme uključuju uticaj grčke matematike na Keplerove zakone planetarnog kretanja i teorijski rad koji je doveo do razvoja računara.

Pod pretpostavkom da čitalac ima neku pozadinu u osnovnoj algebri i geometriji, Davis se oslanja na vežbe da bi razvio neke od važnih koncepata. Ove vežbe su dizajnirane da poboljšaju čitalačku sposobnost u logici i omoguće njemu ili njoj da doživi matematiku na sve naprednijim nivoima.

Sadržaj

  • 1. Neki grčki matematike
    • 1.1 pi i iracionalne brojeve: uvod u grčke matematike
    • 1.2 Euklidske geometrije
    • 1.3 Grčke matematike i Kepler
  • 2. Non-euklidske geometrije
    • 2.1 Formalni aksiom sistema
    • 2.2 Prekursorima ne-euklidske geometrije
    • 2.3 Hyperbolic geometrija
    • 2.4 Sferični geometrija
    • 2.5 Modeli hiperboličke geometrije
    • 2.6 Geometrija svemira
  • Teorija 3. Broj
    • 3.1 Osnovni brojevi
    • 3.2 Euklidska algoritam
    • 3.3 Kongruencija aritmetika
    • 3.4 Mali Fermat teorema
  • 4. Kriptografija
    • 4.1 Neki osnovne metode kriptografije
    • 4.2 Kriptografije javnog ključa
  • 5. Fraktali
    • 5.1 Fraktal dimenzija
    • 5.2 Iteracija i računala
    • 5.3 Mandelbrot i Julia skupova

Paradoks rođendana

Original: http://efgh.com/math/birthday.htm

LOGO

Philip J. Erdelsky

4. juli 2001

 

 

Omiljeni problem u osnovnim kursevima vjerovatnoće i statistike je problem rođendana: kolika je vjerojatnost da barem dvije od N nasumično odabranih osoba imaju isti rođendan? (Isti mjesec i dan, ali ne nužno iste godine.)

Drugi dio problema: Kolika je N mora biti tako da je vjerojatnost veća od 50%? Odgovor je 23, što pogađa većinu ljudi kao nerazumno male. Iz tog razloga, problem se često naziva rođendanski paradoks. Neke oštrice preporučuju klađenje, čak i na novac, da postoje duple rođendane u bilo kojoj grupi od 23 ili više ljudi. Pretpostavljam da postoje neki loše informisani odojak koji će prihvatiti opkladu.

Problem je obično pojednostavljen pretpostavljajući dvije stvari:

  1. Niko nije rođen 29. februara.
  2. Rođendani su jednako raspoređeni po ostalim 365 dana u godini.

Jedna od prvih stvari koje treba primijetiti u vezi s ovim problemom je da je mnogo lakše riješiti komplementarni problem: Koja je vjerojatnost da N nasumično odabranih ljudi ima sve različite rođendane? Možemo ovo napisati kao rekurzivnu funkciju:

double different_birthdays(int n)
{
  return n == 1 ? 1.0 : different_birthdays(n-1) * (365.0-(n-1))/365.0;
}

Očigledno, za N = 1 vjerovatnoća je 1. Za N>1, vjerojatnost je proizvod dvije vjerojatnosti:

  1. Da prvi N-1 ima sve različite rođendane.
  2. Da N-ta osoba ima rođendan drugačiji od bilo kojeg prvog N-1.

Program za prikaz vjerovatnoća ide ovako:

void main(void)
{
  int n;
  for (n = 1; n <= 365; n++)
    printf("%3d: %e\n", n, 1.0-different_birthdays(n));
}

Rezultat je nešto ovako:

1: 0.000000e+00
  2: 2.739726e-03
  3: 8.204166e-03
  4: 1.635591e-02
  5: 2.713557e-02
      ***
 20: 4.114384e-01
 21: 4.436883e-01
 22: 4.756953e-01
 23: 5.072972e-01
 24: 5.383443e-01
 25: 5.686997e-01
      ***

Verovatnoća da najmanje dva od N ljudi imaju isti rođendan raste iznad 0,5 kada je N=23.

ALI ŠTA O LEAP GODINI?

Prvobitni problem se može riješiti slajd pravilom, što je upravo ono što sam učinio kada sam je prvi put čuo prije mnogo godina.

Ako dodamo 29. februar u mix, to postaje znatno komplikovanije. U ovom slučaju, donosimo neke dodatne pretpostavke:

  1. Jednak broj ljudi rođen je na dane koji nisu 29. februar.
  2. Broj ljudi rođenih 29. februara je jedna četvrtina broja ljudi rođenih bilo kog drugog dana.

Stoga je vjerovatnoća da je slučajno odabrana osoba rođena 29. veljače 0,25/365,25, a vjerojatnost da je slučajno odabrana osoba rođena u određenom danu iznosi 1/365,25.

Vjerovatnoća da N osoba, možda uključujući i jednu rođenu 29. februara, ima različite rođendane, je zbir dvije vjerovatnoće:

  1. Da su N osobe rođene N različitih dana, osim 29. februara.
  2. Da su N osobe rođene u različite dane i da je jedna osoba rođena 29. februara.

Verovatnoće se dodaju jer se dva slučaja međusobno isključuju.

Sada se svaka vjerovatnoća može izraziti rekurzivno:

double different_birthdays_excluding_Feb_29(int n)
{
  return n == 1 ? 365.0/365.25  :
    different_birthdays_excluding_Feb_29(n-1) * (365.0-(n-1)) / 365.25;
}

double different_birthdays_including_Feb_29(int n)
{
  return n == 1 ? 0.25 / 365.25 :
    different_birthdays_including_Feb_29(n-1) * (365.0-(n-2)) / 365.25 +
    different_birthdays_excluding_Feb_29(n-1) * 0.25 / 365.25;
}

Program za prikaz vjerovatnoća ide ovako nešto:

void main(void)
{
  int n;
  for (n = 1; n <= 366; n++)
    printf("%3d: %e\n", n, 1.0-different_birthdays_excluding_Feb_29(n) -
      different_birthdays_including_Feb_29(n));
}

Rezultat je nešto ovako:

  1: -8.348357e-18
  2: 2.736445e-03
  3: 8.194354e-03
  4: 1.633640e-02
  5: 2.710333e-02
      ***
 20: 4.110536e-01
 21: 4.432853e-01
 22: 4.752764e-01
 23: 5.068650e-01
 24: 5.379013e-01
 25: 5.682487e-01
      ***

Kao što se i očekivalo, vjerovatnoće su nešto niže, jer postoji manja vjerojatnost podudaranja rođendana kada postoji više mogućih rođendana. Ipak, najmanji broj sa verovatnoćom većom od 0.5 je još uvek 23.

Naravno, matematički purist može tvrditi da prestupne godine ne dolaze uvijek svake četiri godine, tako da je za izračunavanje potrebna daljnja modifikacija. Međutim, posljednja četverogodišnja godina koja nije bila prijestupna godina bila je 1900, a sljedeća 2100. Broj osoba koje sada žive, rođene 1900. godine, toliko je mali da mislim da naša aproksimacija vrijedi za sve praktične svrhe. Ali, ako želite, možete napraviti potrebne izmjene.

Paradoks rođendana ima implikacije izvan svijeta klađenja. Standardna tehnika u skladištenju podataka je dodijeliti svakom elementu broj koji se zove hes-kod. Stavka se zatim pohranjuje u bin koji odgovara njegovoj šifri. Ovo ubrzava dohvat jer se mora pretraživati ​​samo jedna ladica. Rođendanski paradoks pokazuje da je vjerovatnoća da će dvije ili više stavki završiti u istoj ladici visoka čak i ako je broj stavki znatno manji od broja kontejnera. Stoga je u svim slučajevima potrebno efikasno rukovanje posudama koje sadrže dvije ili više stavki.

ELEKTRIČNI TABULACIJSKI SISTEM

Original: http://www.columbia.edu/cu/computinghistory/hh/

H. HOLLERITH

Od Kvartalni, Škola rudnika Columbia univerzitet, Vol. X No.16 (Apr 1889), pp.238-255. U ovom članku autor, Kolumbija diploma (Rudnici 1879)  Herman Hollerith, opisuje uređaja i metoda je razvio automatizirati 1890 US Census; to je osnova za njegovu Columbia doktorat 1890 To je skeniran i pretvara u HTML Frank da Cruz Univerziteta Kolumbija u januaru 2004. godine za  Projekt računarstvo Povijest Columbia Univerzitet. Originalni tekst nije promijenjen na bilo koji način (osim ako slučajno), osim da činjenica da su razbijena od strane rastavljanje su vratio. Original broja stranice su prikazani inline kao [- xx -]. Slike, fusnote, a stolovi su postavljeni kao u originalnom članku; kliknite na bilo koju sliku da vidite veću verziju. (Podaci početi na stranici 247.) Izmjene u HTML5 i za prijevode, januar 2019.

MALO, koji nisu direktno došli u kontakt sa popisnom kancelarijom, mogu formirati bilo kakvu adekvatnu ideju o radu koji je uključen u sastavljanje popisa od 50,000,000 osoba, kao što je bio slučaj u prošlom popisu, ili preko 62,000,000, kao što će biti Međutim, činjenica da je Kongres na svojoj posljednjoj sjednici u “Aktu kojim se predviđa donošenje jedanaestog i narednih popisa” određuje maksimalni trošak za sljedeći ili jedanaesti Popis, bez štampanja i graviranja, na 6.400.000 dolara, možda će impresionirati nekoga sa idejom o veličini takvog poduhvata.

Iako je naša populacija je u stalnom porastu, pa iako na svakom popisu složenije kombinacije i podrobnije su potrebni u raznim kompilacijama, ipak, sve do sadašnjeg vremena, bitno je originalni metod kompilacije je [-239-] zaposlen; da izrade dužine-oznaka u malim trgovima, a zatim dodavanje i brojanja takve dužine-maraka.

Dok se bavila radom na desetom popisu, pažnja pisca bila je pozvana na metode korištene u tabeliranju populacijske statistike i na ogromne troškove. Ove metode su u to vrijeme opisane kao “barbarske, neke mašine treba osmisliti u svrhu olakšavanja takvih tabulatora. To je dovelo pisca do detaljnog proučavanja detalja o korištenim metodama, koje su bez sumnje bile najodgovornije ikada Nakon pažljivog razmatranja mnogih problema koji su uključeni i značajnog eksperimentisanja u velikom obimu, metod koji formira predmet ovog rada pouzdano se nudi kao sredstvo za olakšavanje ovog rada.

Rad popisa može se podijeliti u dvije glavne grane: onu popisivanja i kompilaciju ili tabeliranje. Što se tiče popisivanja, plan koji je prvobitno usvojen na desetom popisu, sa tako sjajnim rezultatima, bit će u značajnoj mjeri praćen u sljedećem popisu, a predviđen je u gore navedenom Aktu Kongresa. Kao što je prema odredbama ovog Zakona popisivači plaćeni prema broju osoba, farmi ili proizvodnih pogona nabrojanih, a kako su stope kompenzacije neznatno povećane, trošak nabrajanja po glavi stanovnika nužno mora biti neznatno veći od deseti popis. Pozivajući se na zapise desetog popisa, smatramo da je cijena popisivanja iznosila $ 2,095,563.32.*

Povećanje broja stanovnika od trideset posto. tokom decenije se može razumno pretpostaviti, tako da troškovi popisivanja na jedanaestom popisu, po istoj stopi po glavi stanovnika, ne bi bili manji od 2,724,232.32 dolara. Dodavanje na ovaj iznos troškova dodatnih rasporeda koji se zahtevaju prema ovom aktu Kongresa i omogućavanje povećanja stope naknade za popisivanje

_____________________
* Trošak desetog popisa bio je sljedeći:

Popisivači $2,095,563.32
Kancelarija nadzornika     2,385,999.50
Specijalni agenti 625,067.29
Štampanje izvještaja 678,624.61
      Ukupno $5,785,254.72

[-240-] farmi i proizvodnih pogona,* vidimo da procjena od 3.000.000 $ nije nerazumna za troškove sljedećeg popisivanja.

Iz tako nabrojanih podataka sastavljaju se različiti izvještaji koji čine legitiman rad popisa. Troškovi ureda nadzornika Desetog popisa stanovništva u Vašingtonu iznosili su 2.385.999,50 dolara. Ako se u narednom popisu trebaju koristiti iste metode kompilacije, troškovi kompilacije po glavi stanovnika bi, naravno, ostali suštinski isti, tako da bi se omogućilo povećanje populacije, troškovi ovog dijela posla iznosili bi $ 3,101,799.67. Tome treba dodati i troškove sastavljanja dodatnih podataka koji se zahtijevaju prema aktu Kongresa. Ako, međutim, podaci nabrojani na sledećem popisu budu sastavljeni sa puninom i potpunošću koju zaslužuje i koju treba da primi, ovi troškovi bi daleko premašili gore navedeni iznos. Kao što će se sada pokazati, mnoge činjenice nabrojane u desetom popisu uopšte nisu bile sastavljene, ili ako su sastavljene, tretirane su na tako jednostavni i elementarni način da ostavljaju mnogo da se poželi. S druge strane, međutim, kompilacije desetog popisa bile su toliko superiorne u odnosu na sve što se ranije pokušavalo da se vrlo vjerovatno zaključi da deseti popis ne ostavlja ništa što bi bilo poželjno. Ako se na jedanaestom popisu ne donesu materijalna poboljšanja u metodama tabeliranja, verovatno će se smatrati nemogućim ostvariti više od desetog popisa zbog vremena i troškova.

O popisu se često govori kao o fotografiji društvenih i ekonomskih uslova jednog naroda. Analogija se može napraviti ne samo u odnosu na dobijene rezultate, već i na metode

Popisivači Stope naknade
  1890
Popis
1880
Popis
Za svakog stanovnika nabrojenog  2  2
Za svaku zabilježenu smrt  2  2
Za svaku se farmu vratio 15 10
Za svaku prerađivačku industriju 20 15
Za svakog vojnika, mornara, itd  5 ………….

[-241-] dobijanja ovih rezultata. Na taj način popisivanje popisa odgovara izloženosti ploče u fotografiji, dok kompilacija popisa odgovara razvoju fotografske ploče. Osim ako je fotografska ploča pravilno izložena, nemoguće je dobiti dobru sliku, tako da je, u slučaju popisa, dobar rezultat nemoguć, osim ako je popisivanje izvršeno na odgovarajući način i sa dovoljno detalja. Kao što je prvi tok developera iznio istaknute tačke naše fotografske slike, tako će u slučaju popisa prvi tabelarni prikazi prikazati glavne karakteristike naše populacije. Kako se razvoj nastavlja, pojavljuje se mnoštvo ili detalj u svakom dijelu, dok se istodobno istaknute osobine ojačavaju i izoštravaju u definiciji, dajući konačno sliku punu života i snage. Takav bi bio rezultat pravilno sastavljenog i probavljenog popisa iz temeljnog popisivanja. Ako ova zemlja troši 3.000.000 dolara na izloženost ploče, zar se slika ne bi trebala pravilno razvijati?

Rasporedi stanovništva desetog popisa stanovništva sadržavali su sljedeće upite, a odgovori na njih bili su sposobni za statističku obradu:

  • Rase ili boje: da li je bijela, crna, mulat, kineski ili indijski.
  • Seks.
  • Godine.
  • Odnos svake osobe nabrojane u glavu porodice.
  • Civilne ili bračne stanje: da li jedan, oženjen, udovice, ili razvedeni.
  • Da li se udala u toku popisa godine.
  • Zanimanje.
  • Broj mjeseci nezaposlenih.
  • Da li bolestan ili na drugi način privremeno onemogućeno kako bi bio u mogućnosti da prisustvuju redovnog poslovanja ili dužnosti na dan popisivanja; šta je bolest ili invaliditet?
  • Da li slijepi, gluhi i glupi, idiotski, lud, osakaćeno, osakaćen, prikovana za krevet, ili na drugi način osobe s invaliditetom.
  • Da li je osoba pohađala školu u toku popisa godine.
  • Ne mogu čitati.
  • Ne mogu pisati.
  • Mjesto rođenja.
  • [-242-]  Mjesto rođenja oca.
  • Mjesto rođenja majke.

Ovakvo popisivanje, ako je to učinjeno temeljito, svakako korespondira sa potpuno vremenskom ekspozicijom naše fotografske ploče. Teško da bi se to moglo nazvati nedovoljno izloženim.

Ako je zanimljivo i vrijedno znati broj muškaraca i žena u našoj populaciji, koliko je veći interes znati broj domaćih muškaraca i stranih muškaraca; ili opet, znati broj domaćih bijelih muškaraca, stranih bijelih muškaraca, obojenih mužjaka, itd.; ili opet, kombinacija svake od ovih činjenica sa svakom godinom starosti. Sve je to učinjeno u desetom popisu. Napravljene su mnoge druge zanimljive i vredne kombinacije, daleko nadmašivši bilo šta što se ikada prije pokušavalo, ali, s druge strane, mnoge nabrojane činjenice uopšte nisu bile sastavljene. Tako, na primer, danas je nemoguće dobiti najmanji pouzdani statistički podatak u vezi bračnih uslova naših ljudi, iako su potpuni podaci o tome zaključani u povratku popisa desetog popisa. Drugim riječima, razvoj se nije odvijao dovoljno daleko da bi se prikazao čak i ovaj najvažniji detalj naše slike. Pitanje zašto ova informacija nije sastavljena nekoliko puta je postavljano tokom rasprave o sadašnjem zakonu o popisu u odboru Senata. Tačan i pravilan odgovor na ovaj upit bi vjerojatno bio jednostavno, “nedostatak sredstava. Na minut da eminentni statističar koji je planirao i usmjerio deseti popis nije u potpunosti shvatio vrijednost takve kompilacije.”

Da znam, jednostavno je broj jedan, u braku, udovice i razvedena osoba u našem narodu će biti od velike vrijednosti, ipak bi bilo vrlo mnogo veće vrijednosti imati iste informacije u kombinaciji s godinama, sa seksom, sa rase, sa horoskop, sa zanimanjem, ili sa različitim pod-kombinacija ovih podataka. Ako podaci u pogledu odnosa svake osobe u glavu porodice su pravilno sastavljeni, u kombinaciji s raznim drugim podacima, ogromnu količinu vrijednih informacija bi se dobiti. Dakle, još jednom, ako se pravilno nabrojane broj mjeseci nezaposlenih i sastavljen u odnosu na dob, zanimanju, itd, više informacija može se dobiti od velikog [-243-] vrijednost student ekonomske probleme koji utiču na naše plaće-zarađuju.

Još jedna ilustracija će biti data. U popisu smo, pored podataka koji se odnose na naše živo stanovništvo, evidentirali smrtne slučajeve tokom prethodne godine. U oba slučaja imamo informacije o dobi i zanimanju. Žive populacije su tabelarno prikazivane kombinacijom starosti i zanimanja, a isto tako i smrti po godinama i zanimanjima, onda bismo imali podatke iz kojih bi se mogli izvući pouzdani zaključci u vezi sa efektima različitih zanimanja na dužinu života. Možda je čak moguće napraviti tablice života za različita zanimanja kao što to sada činimo za različite države i gradove. Takve informacije bi bile korisne u vezi sa životnim osiguranjem i drugim problemima. Opet. ona bi ukazala na sve potrebne reforme u vezi sa sanitarnim uslovima i okruženjem bilo kog zanimanja. Ovo je oblast statističkog istraživanja koja je još uvijek u potpunosti neistražena.

U vezi s tim možda bi bilo prikladno citirati pismo upućeno piscu, u odgovoru na određena pitanja, general Francis A. Voker, poznati nadzornik Desetog popisa:

“U popisu stanovništva tako popularne zemlje kao što je Sjedinjene Države rad na tabeliranju može se odvijati gotovo doslovno bez ograničenja, a ipak ne prestaje da dobija nove činjenice i kombinacije činjenica političkog, društvenog i ekonomskog značaja.

“Sa takvim poljem pred statističarem, to je čisto pitanje vremena i novca gde će se zaustaviti. Uopšteno govoreći, on ne može da uradi manje nego što je urađeno ranije u tretmanu iste teme. Želja da se ide nešto više od svojih prethodnika i da uvede neke nove karakteristike u interesu i uputi vlastitu izbornu jedinicu, tako da postoji stalna tendencija da se statistički tretman sličnog materijala postepeno sve više i više komplikuje. poboljšanja u statistici jedne zemlje imaju veći ekonomski značaj od nekih ranijih i elementarnijih grupacija činjenica.”

Niko nije kompetentniji da govori autoritativno o ovom pitanju nego generalu Vokeru, i svakako nijedno mišljenje nije vrednije razmotriti.

Bez obzira na želje i želje onih koji su zaduženi  [-244-] naših različitih statističkih istraživanja, mi često nalazimo u ovoj zemlji da je javno mnjenje potrebama i zahtjevima pojedinih statističkih podataka. Tako je u ovom Zakonu Kongresa dok je glavni boda ostaju diskreciono sa sekretarom za unutrašnje poslove, pod čijim pravac popisu se uzima, i dalje na određene tačke direktne instrukcije daju. Na primjer, predviđeno je da se boji stanovništvo se nabrojani i tabelarno u odnosu na razlike crnaca, mulata, quadroons i octoroons. U popisu 1860 stanovnika je sastavljen ispod 14 starosnim grupama, 1870. su u dobi prebrojani ispod 25 grupa, dok je u 1880. popisu ured, u skladu sa brojnim zahtjevima iz različitih izvora, izračunavali stanovništva prema pojedinačnim godinama starosti, odluka u svim preko 100 specifikacijama.

Do sada je u popisu stanovništva i sličnim kompilacijama slijedilo u suštini jedna od dvije metode. Ili su dokumenti sačuvani u svojim odnosima, a informacije povučene tako što će se prvo grupisati činjenice, a zatim sledeće, ili su zapisi napisani na karticama ili listićima, koji se prvo sortiraju i broje prema jednoj grupi činjenice, a zatim sljedeće.

Da bismo formirali neku ideju o pitanjima koja su uključena u prvi plan, pretpostavimo da je zapis koji se odnosi na svaku osobu na sledećem popisu napisan linijom preko trake papira, i da su takve linije udaljene tačno pola inča, onda bi trebalo da uzme traku papira dugu preko 500 milja da sadrži takve zapise. Oni se moraju iznova i iznova prebacivati ​​dok se ne postignu sve željene kombinacije. Ovo je praktično metoda koja je uslijedila u sastavljanju deseteg popisa. S druge strane, ako se koriste pisane kartice, izgledi su malo ohrabrujući. Sto komotno tankih kartica će formirati stack viši od inča.

Prema tome, u narednom popisu, ako se takve kartice koriste, to će zahtijevati stog viši od deset milja. Zamislite na trenutak nevolje i zbunjenost koja bi bila uzrokovana time što bi se nekoliko takvih kartica izgubilo. Ova metoda pojedinačnih karata korištena je u popisu stanovništva Massachusettsa 1885. godine. Korištenih 2.000.000 kartica težilo je oko 14 tona. Da su iste kartice korištene u sljedećem popisu stanovništva Sjedinjenih Država zahtijevalo bi oko 450 tona takvih kartica.

[-245-] Umjesto ovih metoda, predlaže se da se rad obavlja u najvećoj mogućoj mjeri mehaničkim putem. Da bi se to postiglo, zapisi moraju biti postavljeni u takvom obliku da ih mašina može pročitati. To se najlakše postiže probijanjem rupa u karticama ili trakama od papira, koje se tada perforacije mogu koristiti za kontrolu krugova preko elektro-magneta koji rade brojače, ili mehanizam za sortiranje, ili oboje u kombinaciji.

Koriste se kartice za snimanje odgovarajuće veličine, čije su površine podijeljene u kvadrate kvadrata, pri čemu se svakom kvadratu dodjeljuje određena vrijednost ili oznaka. Ako, na primer, treba da se napravi zapis o polu, koriste se dva kvadrata, označena tačno M i F, i, kako se zapis odnosi na muško ili žensko, odgovarajući kvadrat je probušen. Ove rupe mogu biti probijene bilo kojim običnim udarcem, rezanjem okruglog otvora, otprilike tri-šestnaestine inča u promjeru. Na sličan način se evidentiraju i drugi podaci, kao što su stanje bračnog partnera, nepismenost itd. Međutim, često se utvrđuje da se podaci moraju evidentirati sa detaljima specifikacije da bi bilo nepraktično koristiti odvojeni prostor za svaku specifikaciju. U takvim slučajevima se koristi kombinacija dva ili više rupa za označavanje svake specifikacije. Na primer, ako je poželjno da se zabeleži svaka godina starosti, koristi se dvadeset razmaka, podeljenih u dva seta od po 10, označenih, redom, od 0 do 9. Jedan set od deset razmaka koristi se za snimanje desetina godina godine, dok se drugi set koristi za evidentiranje jedinica godina starosti. Dakle, dvanaest godina bi se zabilježilo probijanjem I u prvom setu, i 2 u drugom; dok bi 21 godina bilo zabeleženo probijanjem 2 u prvom setu, a 1 u drugom setu. Zanimanja se mogu rasporediti u proizvoljne grupe, pri čemu se svaka takva grupa označava velikim slovom, a svako posebno zanimanje te grupe malim slovom. Prema tome, Aa bi označio jedno zanimanje, Ab drugo, itd. Ako se želi, mogu se koristiti kombinacije dva ili više slova istog skupa. Dakle, AB se može koristiti za označavanje jednog zanimanja, AC drugog I BC-a, itd. Sa takvim aranžmanom, početno slovo se može koristiti za označavanje grupa zanimanja kao i ranije. Na ovaj način je očigledno da će vrlo mala kartica biti dovoljna za elaborirani zapis. Za rad na popisu, kartica 3″× 5½” bila bi dovoljna da odgovori na sve uobičajene svrhe. Kartice su poželjno izrađene od tankog materijala kao što je to prikladno za rukovanje.

Ako se koriste štampane kartice, probijanje se može uraditi sa običnim karata udaraca; [-246-]  više zadovoljavajuće rezultate, međutim, može se dobiti s udarcima dizajniran posebno za ovaj posao, kao što će biti sada opisan.

U popisu, popisni okrug formira statističku jedinicu površine, a pogodna kombinacija je uređena tako da odredi svaku takvu oblast. Kartica je probijena odgovarajućom kombinacijom za svaku osobu u takvim popisnim krugovima, a kartice svakog okruga se zatim numeriraju uzastopno, u odgovarajućoj mašini za numerisanje, da bi odgovarale brojevima dodijeljenim pojedinačnim zapisima na popisivačima. Ova kombinacija rupa i ovog broja služiće za identifikaciju bilo koje kartice. Ako se bilo koja kartica izgubi, lako je otkriti među brojem karata time što jedna ili više rupa neće odgovarati rupama u bilansu karata. Pomoću odgovarajuće žice ili igle može se testirati snop od hiljadu ili više kartica u nekoliko sekundi, i otkriti sve zagubljene kartice. Kada se zapamti da se u popisu mora stalno baviti milijunima kartica, cijeni se važnost ovog razmatranja. Sa običnim pisanim karticama bilo bi praktično nemoguće otkriti pogrešno postavljene kartice, a nekoliko takvih pogrešno postavljenih kartica bi izazvalo gotovo beskrajnu konfuziju.

Budući da su kombinacije rupa koje se koriste za označavanje okruga popisivača iste za sve kartice tog okruga, uređen je poseban stroj za probijanje ovih rupa. Ova mašina je opremljena brojnim međusobno izmjenjivim bušilicama, koje su postavljene u skladu sa kombinacijom i željeno je probiti. Pet ili šest karata se zatim stavljaju u proboj na odgovarajuće pregrade, a pomoću poluge se odgovarajućim rupama probijaju ove kartice u jednoj operaciji.

Pojedinačnih evidencija sada prepisuju sa odgovarajućim karticama udarati po unaprijed pripremljene sheme kao što je opisano gore. Za tu svrhu ono može biti poznat kao tastatura-udarac je uređen, u kojoj je kartica se održava fiksiran u okvir, dok je udarac se preselio preko kartice u bilo kojem smjeru pomoću projektovanje poluge dobili odgovarajuće dugme ili rukovanje . Ispod dugme je tastatura pruža sa rupama slovima i brojevima prema dijagramu kartice, i tako uređen da kada pin projektovanje ispod dugmeta je preko bilo rupe, udarac je završen odgovarajući prostor kartice. Ako je pin depresiji u bilo rupa od tastature, udarac upravlja i odgovarajuće [-247-] prostor kartice je udario. Sa takvim tastature udarac to je, naravno, jasno da je savršeno prazna kartica se može koristiti,

međutim, jedan ugao se prekida kako bi se kartica pravilno locirala u narednim operacijama.

Da biste pročitali takav udario kartona, potrebno je samo da se [-248-] stavite ga preko štampanom obliku, po mogućnosti različite boje, kada je kompletan zapis prikazuje direktno kroz rupe.

Do sada se samo upućivalo na kompilaciju popisa, ali su te metode podjednako primjenjive na mnoge druge oblike statističkih kompilacija, kao što su, na primjer, različiti oblici vitalne statistike. Slika 1, na primer, predstavlja dijagram kartice koji se trenutno koristi u kancelariji generalnog hirurga SAD-a, za sastavljanje vojne zdravstvene statistike. Podaci koji se odnose na mjesec, poziciju, podjelu i regiju na koju se zapis odnosi, bilježe se probijanjem rupe u svakoj podjeli preko kraja kartice pomoću stroja s izmjenjivim udarcima kao što je prije opisano. Ovaj deo

zapis se gotovo tačno poklapa sa zapisom popisa za popisivanje. Pojedinačni zapis se zatim prepisuje na karticu tako što se probija u preostale prostore pomoću tastature-bušenja kao što je ranije opisano.

Takva kartica omogućava kompletnu evidenciju, uključujući sljedeće podatke za svaki pojedinačni; rang, ruka usluga, dob, rasu, nacionalnost, dužina radnog staža, dužina boravka na određenom post, da li je bolest ugovorena je u dužnosti ili ne, da li je priznao da je bolestan izvještaj u toku mjeseca ili u toku prethodnog meseca, izvor prijema, raspored predmeta, odnosno da li preostale pod terapijom, mjesto liječenja, bolesti ili povrede za koje tretiraju, i na kraju tretira broj dana. Između 40.000 i 50.000 takvih evidencija se dobila [-249-] godišnje, a iz ovih se sastavljaju razne zdravstvene statistike koje se odnose na našu vojsku.

Kartica je upravo uređen za Odbor za zdravstvo Njujorka koji se koristi u izradi statistike smrtnosti tog grada. Rekord za svaku smrt dešavaju u gradu Njujorku, kao što je dobila od certifikate liječnika, je prepisan na takvu karticu udaraju kao i ranije opisani način. Ova kartica omogućava snimanje sljedeće podatke: spol, dob, rasu, bračne stanje,

zanimanje, rodno mesto, rodno mesto roditelja, dužina boravka u gradu; odjeljenje u kojem je nastupila smrt, sanitarna podjela takvog odjeljenja, priroda prebivališta u kojem se smrt dogodila, da li je to stan, stan, hotel, javna ustanova, itd., i na kraju uzrok smrti. U gradu Njujorku godišnje se bilježi oko 40.000 smrtnih slučajeva.

Ove ilustracije će poslužiti da pokažu kako se kartica može spremiti za snimanje gotovo svih željenih grupa činjenica.

Uz malu praksu osigurana je velika stručnost u izradi takvih transkripcija, pa se zapis može prepisati mnogo lakše nego pisanjem, čak i ako je napravljena znatna odredba za olakšavanje pisanja upotrebom skraćenica.

Od udario kartona je pored postaje neophodno [-250-] sastaviti željeni statistike. U tu svrhu aparat prikazan na slikama. 2 do 8 se koristi. Štampe ili kola-zatvaranje uređaja, koji je prikazan na slikama. 2, 3 i 4, sastoji se od tvrde gume krevet ploča, kao što je prikazano u poglavlju u Sl. 4, pod uslovom da sa odgovarajućim zaustavljanja ili pokazivači protiv kojih rekordno kartice mogu se postaviti. Ovo tvrde gume ploča je opremljena broj rupa ili čaše odgovarajući u broju i relativni položaj s centrima

prostori kartice. Gvozdene žice noktiju je sigurno prešao kroz rupu u dnu svake kup, i žice, povezivanje na svom drugom kraju sa obavezujući post na poleđini štampe okvira, čvrsto održava pod glavu svakog nokta. Svaki kup je djelomično ispunjena živom, koji, kroz nokat i žice, stoga u električnoj vezi sa odgovarajućim vezivanja-post. Iznad tvrde gume ploča je klipni predviđenu kućicu sa brojnim projektovanje opruge aktivira poena, odgovarajući na broj i raspored sa centrima žive čaše. Izgradnju i uređenje ovih igle je prikazan na sl. 4. Ako je kartica postavljena na gumene ploče protiv zaustavljanja je naravno jasno da, kada je kutija oboren za ručicu, igle će sve biti pritisne natrag , osim kao što odgovaraju [-251-] sa udario prostore karticu koja projektuju u živu, i stoga su u električni priključak sa odgovarajućim vezivanja-poruke na leđa štampe okvira.

Jedan broj mehaničkih brojila su raspoređeni u odgovarajući okvir, kao što je prikazano na sl. 5. Lice svakog kontra je tri inča kvadratnih, a dobija se uz dial podijeljen u 100 dijelova i dvije ruke, jedna brojne jedinice druge stotine. Brojač se sastoji uglavnom od elektro-magnet, armatura od kojih je tako uređen da svaki put kada se privukla zatvaranjem

kolo registruje jedan. Odgovarajući nošenje uređaja je uređen tako da se u svakom potpunu revoluciju jedinice ruke stotinu ruku registruje jedan, svaka kontra pa se tako i brojanje do sto sto, ili 10.000, koja će se naći dovoljno za sve obične statističke svrhe. Šalterima su tako raspoređeni da oni mogu lako se resetirati na 0, a svi se skidaju i izmjenjivim, sama postavljanje brojača na poziciju u okviru donošenja potrebnih električnih priključaka kroz magnet.

Za potrebe sortiranja kartica po bilo koju grupu [-252-] statističkih predmeta ili kombinacija dva ili više takvih stavki, sortiranje-box, koji je prikazan na sl. 6, koristi. On se sastoji od kutije odgovarajuće podijeljeni u pregrade, od kojih je svaka zatvorena poklopcem. Svaki poklopac, L, kao što je prikazano na sl. 7, održava zatvorena protiv napetosti opruge, S, koje je ulov, a, u armaturu, A. Ako je krug zatvoren kroz magnet, E, armature, A, je

privukao i na taj način oslobađaju poklopac, L, koji je otvoren do izvora, i ostaje otvorena do ponovo zatvoren rukom.

Kako se udario kartice su raspoređeni po okruzima popisivača “, koji čine naš jedinici površine. Prva kompilacija koja bi se željena bi dobiti statistike za svakog popisnog kruga prema nekim nekoliko kondenzirane grupacijama činjenica. Tako bi se moglo željeni znati broj muškaraca i žena, od native rođen i stranih rođeni, bijelaca i boji, sa jednim, oženjen, i udovice, broj na svakoj od grupa centra dobi, itd, u svakom popisnog kruga. Da bi se dobila takvu statistiku odgovarajući obavezujući-poruke na poleđini štampe okvira su povezani putem pogodan komad pokrivena žice, sa vezivanja postova od šaltera na kojima se želi da registruje odgovarajuće činjenice. Odgovarajuća baterija se raspoređenih u krug, jasno je da ako je kartica se stavlja na [-253-] čvrsti gumeni ležaj ploča, a kutijicu štampe srušen na karticu, igle odgovara sa udario prostorima će se zatvoriti krug kroz magnete odgovarajućeg brojača koji na taj način registruju po jedan. Ako su brojači prvi postavljena na 0, a kartice date popisnog kruga tada je prošao kroz pritisnite jedan po jedan, broj muškaraca i žena, bijelaca i boji, itd, će biti naznačeno na odgovarajućim šalterima.

Ako se želi računati direktno na brojače, kombinacije dva ili više predmeta, mali releji se koriste za kontrolu sekundarnih krugova preko brojača. Ako je, na primjer, poželjno znati broj autohtonih bijelih mužjaka, prirodnih bijelih ženki, stranih bijelih mužjaka, stranih bijelih ženki, obojenih mužjaka. i obojenih ženki; to su kombinacije pola, rase i rođenja, obični releji su raspoređeni kako je prikazano na dijagramu, sl. 8, čiji su magneti povezani sa štampom kako je naznačeno. Ako je kartica utisnuta za prirodni bijeli, a muški postavljen u prešu, pokreću se odgovarajući releji, koji zatvaraju sekundarni krug preko magneta brojača, izvorni bijeli mužjak, te tako registruju jedan na odgovarajući brojač.

Odgovarajućim rasporedom releja može se računati svaka moguća kombinacija podataka snimljenih na karticama. Međutim, kada se želi računati sa složenijim kombinacijama, koriste se posebni releji sa višestrukim kontaktnim tačkama.

Ako se želi asortiman ili distribuiraju kartice prema bilo željenu stavku ili kombinacije stavki snimljene na kartici, samo je potrebno povezati magneta za sortiranje kutije na potpuno isti način kao što je to opisano za brojače. Kada se kartica se zatim stavlja u novinama, jedan od poklopaca za sortiranje kutije, prema podacima snimljene na kartici, će se otvoriti. [-254-] kartica se odlaže na otvorenom pregradi sortiranje kutije i poklopac zatvoren s desne strane, dok je u isto vrijeme naredne kartica se stavlja u položaj u štampi sa lijevom rukom.

To je, naravno, jasno da je bilo koji broj predmeta ili kombinacija predmeta može računati. Broj takvih predmeta ili kombinacija, koja se može računati u svakom trenutku, koji su ograničeni samo po broju brojila, dok u isto vrijeme karte su poredani po bilo koju željenu skup statističkih činjenica. U popisu iz kartice kao oni dolaze iz probijanje će, naravno, biti raspoređeni po popisnim krugovima.

Svaka distrikta bi se tada mogla voditi kroz štampu, a činjenice koje se žele znati u vezi sa ovom jedinicom područja mogu se računati na šalterima, dok su kartice istovremeno raspoređene prema nekom drugom nizu činjenica, raspoređivanje u prikladnom obliku za dalje tabeliranje. Na ovaj način, rasporedom razborite “šeme”, naći će se da se najsloženija kompilacija može izvršiti samo sa nekoliko obrada karata.

Dva od najvažnijih elemenata, u gotovo svim statističkim kompilacije, su “time što rezultati mogu se dobiti sa ovim metodom, u popisu, na primjer, biti zavisi od: 1., stopa po kojoj službenik mogao udariti rekord -cards, i, 2d, broj službenika zaposlenih na ovom dijelu posla. Prvi se lako može odrediti eksperimentom, kada je drugi postaje samo [-255-] jednostavan aritmetičke proračun. Rad brojanje ili tabelarno na mašinama može se tako urediti da, u roku od nekoliko sati nakon posljednje kartice za bateriju, prvi set stolova, uključujući kondenzirane grupisanje svih vodećih statističke činjenice, ne bi bio potpun. Brzine kojom bi mogao biti objavljen kasnijim tablicama bi ovisilo samo o broju mašina zaposlenih.

Što se tiče tačnosti, očigledno je da se procesi brojanja i sortiranja, koji su čisto mehanički, mogu s takvim provjerama urediti da je greška praktično nemoguća. Jedan mogući izvor greške je u probijanju karata. Ako se poduzmu odgovarajuće mjere opreza, može se dobiti popis koji je praktično bez grešaka u kompilaciji. Čak iu ovom pogledu sadašnji metod bi imao očigledne prednosti. Kartica koja je pogrešno probijena može uključivati ​​grešku samo jedne jedinice, dok su pri svim prethodnim metodama moguće pojedinačne greške koje uključuju grešku kao rezultat desetaka, stotina, tisuća ili čak i više.

Čvrsto se vjeruje da će, s obzirom na troškove, vrijeme i točnost, ova metoda imati veoma velike prednosti u obavljanju posla koji je do sada obavljen, ali se vjeruje da je to beznačajno u odnosu na činjenicu da bi bila moguća temeljna kompilacija, u razumnim granicama troškova, dok je takva kompilacija praktično nemoguća, uobičajenim metodama, zbog ogromnih troškova.


Frank da Cruz

Istorija Japanskih Mehanički Proračunske Mašine po Katsunori Kadokura

Source: http://www.xnumber.com/xnumber/japanese_calculators.htm 

Uvod

Ovaj članak će vam reći o povijesti japanskih Mehanički računske mašine, uglavnom onih ručnog tipa. A raspored je dostupan. Kroz ovaj članak ćete imati priliku da vide tipičan primjer industrijske životnog ciklusa, uključujući:
Početnoj fazi: Inovativna inženjer izmišlja nove tehnologije koja počinje novu industriju.
Etape rasta: Mnoge kompanije ulaze u novu industriju pod licencom patenta ili nakon patent istekne. Na tržištu je proširen.
Saturation faza: Tržište postaje zasićeno, mnoge kompanije nestati nakon što su stopljene veće kompanije ili ne zbog teško konkurenciju. Nekoliko velikih kompanija kontrolišu tržište.
Novi početnoj fazi: Inovativna inženjer izmišlja nove tehnologije.
Ovaj životni ciklus se ponavlja u mnogim vrste industrije. Možete naučiti gdje ti je posao sada u okviru takvog ciklusa.

1. Prije izračunavanja strojevi

SorobanKineski Abacus pojavio u Japanu oko 1500-1600 AD. Japanski inženjeri poboljšana je i ljudi ga zovu Soroban.
U Soroban ima oštre ivice perle i tanke osovine za brzu proračune. Japanci koriste da nauče kako da ga koriste od njihovog djetinjstva. To može obavljati dodatke, oduzimanja i množenja i dijeljenja.

2.Prije nego japanski računske mašine

Japanski industrija je počela da raste brzo nakon moderni oblik Vlade počeo u 1868. U to vrijeme, grupe obrazovanih ljudi putovali u inostranstvo da se upoznaju sa savremenim zemljama. Japan uskoro počela da uvozi računske mašine, kao što su Thomas Arithmometers, Comptometers, ODHNER i Brunsviga kalkulatora. Ove mašine su koristila vojska, osiguravajućih društava i naučnici. Mašine su bile skupe. Njihova cijena je u poretku Y300 na Y600 koji su bili dovoljno kupiti lijepa kuća u to vrijeme.

3.Rano Japanski računske mašine

Nekoliko genijalan japanski inženjeri pokušali poboljšati ili imitiraju iznad mašine s namjerom pokretanja vlastitog biznisa.

3.1 Patenata Yazu Arithmometer (1902) Yazu i njegov patent Yazu ArithmometerRoichi Yazu (1874-1905) je bio vrlo pametan izumitelj na mnogim poljima u rasponu od rječnika do aviona. Godine 1902. izumio je mehanički računske mašine i patent je odobren da ga u 1903. Ovaj stroj je neka vrsta hibrida između vrsta pinwheel i Soroban. Godine 1902. on je ugradio kompanija Yazu Jido Soroban (Yazu Automatska Soroban) u Tokiju. Mašina je imenovan Patentirani Yazu Arithmometer, a 200 jedinice su proizvedeni. Međutim, on je ispustio projekta kada je odlučio da izgradi avion sa opremljenom motorom. On je uložio sav svoj novac u ovom projektu.

Yazu patenata 6010 (1903)Kada je preminuo, njegov otac je pokušao da se poboljša mašinu, ali nije imao uspjeha sa poslovnim. Niko se svoje kalkulator.

Jedan stroj je pronađen 1977. g A. Uchiyama (IBM) u kući Yazu sestre potomci.

3.2 Ideal (1921) IDEAL Proračunske MachineKo je napravio ovaj stroj? To je još uvijek misterija. Maruzen prodao mašinu oko 1.921. Maruzen je poznati izdavač knjiga i Business Machines i stacionarne distributer u Japanu. Maruzen prodao Brunsviga, Muldivo, milionera i Marchant mašine prije ideal.

Možemo vidjeti dva IDEAL mašine sada. Jedan od njih je u Tokiju University Science muzej, Muzej kaže da ih je Nippon Jimuki napravljen za Maruzen. Drugi problem je u Momoyama Gakuin Univerziteta u Osaki, univerziteta kaže da je napravljen od strane Idealan Proračun Machine Co. (SAD). Mislim da obojica mogu biti u zabludi.

sotoyama_patent.jpg (18129 bajtova)

Video sam jedan od tih mašina sa pečatom koji pokazuje patenata 47281. Ovo je Sotoyama patent Utility Model 47281 koji je potpuno isti kao idealna mašina. Sotoyama je bio jedan od direktora i osnivača Keisanki Seizou Co, Ltd (a izračunavanje proizvođač mašine) koje je osnovano 1918. godine u Yokohami. Vjerujem da ih Keisannki Seizou napravljen za Maruzen.

Izgleda prilično slično Marchant mašine. Može biti da ga imitirati.

4. Od 1923-1945 (kraj Drugog svjetskog rata) Tokyo je imao veliki potres 1923. Mitropolit Ured kupio 400 ODHNER arithmos za rad obnovu grada. Privrednici su imali veliki interes za poslovanje računanje mašinu.
4.1 Tiger Proračun MachineOhmoto TorahirouT.Ohmoto prva mašina 1923 Ohmoto Torajirou osnovana Ohmoto Tekko (a metala tvornica) u Osaki. Ova kompanija je imao mnogo vrsta metala djela kao što nas slikati limenke, sefova i održavanje poslovnih mašina. On je završio svoj prvi računske mašine, Tiger, u informacijama 1923. Službenom kompanija navodi da je on to izmislio, nakon nekoliko godina napornog rada. Ali ja sa žaljenjem reći da izgleda kao imitacija Brunsviga mašina. Tiger rani modeli su gotovo isti kao i Brunsviga.1924 Model1928 modelTiger je postala najveća mehanička računanje proizvodnju zabrinutost u Japanu.Njegova viši direktor prodaje studirao u SAD-u, u organizaciji sistema prodaje po uzoru na Nacionalni kasa. Ovo je uključivalo direktne prodaje, život garancija, dobro održavanje, popraviti cijene (bez popusta) i dobro obučeni prodajne sile. Oni proizvode oko 480.000 mašine do 1974. Njegov udio na tržištu je više od 50%.

Model Kihon (Osnovni tip) (1934)
Model Kihon (Osnovni tip) (1934)

Model Tokusou Renjou (1949)
Model Tokusou Renjou (1949)

4.2 Nippon Proračun Machine (1928) Nippon Proračun Machine Co, Ltd je inkorporirana u Osaki 1928. T. Tukaguti, bivši Tiger distributer, i S. Fujii koji izmakne kao inženjer iz Tiger. Našao sam da je S. Fujii imao nekoliko patenata i imali su patent sporova sa Tiger.Jedan članak kaže da je pokrenuo stroj pod nazivom “Nohritsu”, ali nisam siguran. Nije jasno kakav je odnos postojao između ova kompanija i kompanija istog imena Nippon Proračun Machine & Co, Ltd. koja je ugrađena u 1945. Nadam se da će neko mi reći.

4.3 Taiyo Proračunske Machine (1934)

IkuzoOchiIkuzo Ochi ugraditi Taiyo Proračun Machine Co, Ltd u Osaki 1934. On izmakne iz Tiger i pokrenuli modele “Aikoku” i “Taiyo.” Njihova nosivost sistem izgleda kao onaj u Britannic.

Tamaya Shoten prodao model “Taiyo” i “Aikoku” (japanski logotip).

 

taiyo.jpg (6992 bytes)
Model Taiyo (japanski logo)

aikoku.jpg (4773 bytes)
Model Aikoku (japanski logo)

Godine 1937. japanska vlada zabranila uvoz mnoge vrste opreme, uključujući poslovne mašine. To je izazvalo veliki distributeri mašina stranih-made izračunavanje da se prebacite na japanske proizvodnje mašine.
4.4 Maruzen Proračun Machine (1938 ili 1939)Maruzen (1939) Maruzen spojio sa Taiyo 1939. godine i ugrađeni  Maruzen Proračun Machine Co, Ltd. koji je kasnije preimenovan u  Maruzen Jimukikai (business machine) & Co, LtdMaruzen dobili naredbu za velike brzine izračunavanje strojeve iz japanske vojske, ali to nikada nije ispunjeno.
5.1 Nippon Proračun Machine (1945) (NCM i Busicom kasnije) Fuji Boshi (1945?)Nippon Proračun Machine Co, Ltd. je osnovalo Showa Yoko 1945. godine. Možda su kupili zaštitni znak  “Fuji Boshi ” iz K. Hirata koji žig registrovan nakon što je spin iz Tiger.

SM 21Oni su pokrenuli Fuji Boshi, SM-1 i HL-21. Neki Mašine nose i ime Busicom.

Busicom je poznat po tome što je jedan od developer mikroprocesora i4004 sa Intelom u 1971.

5.2 Taiyo (1951) Taiyo ModelIkuzo Ochi se ponovo ugraditi Taiyo 1951. godine nakon što je Maruzen prodao svoje fabrike mašina za računanje. Taiyo je podružnica Uchida Youkou Co, Ltd oko 1955. Uchida Youkou je distributer poslovni prostor opreme.
5.3 Blue Star (1951) i Toshiba Blue Star (1951)Blue Star je napravljen od Tokyo Electric Co, Ltd, koja je sestrinska firma Toshiba. Rani model (u crnoj i boji) je prodao Nippon Jimuki Co, Ltd u 1951. Ovaj model je bio kopija Original-ODHNER mašina
Kasnije, Toshiba Business Machine Co, Ltd je prodao mašine pod nazivom “Toshiba“.

Blue Star (1952?)
Blue Star (1952?)

Toshiba (1959)
Toshiba (1959)

5.4.Corona (1952?) korona , Ne znam je proizvođač ovog aparata. Jednom univerzitetu kaže da je ovaj stroj napravljen je Corona Proračun Machine Co, Sjedinjene Američke Države, ali ja ne znam takva kompanija u SAD-u.Vidio sam jedan oglas u novinama koji kaže “Corona Proračun Machine je najbolji stroj napravljen u Japanu.”

Vidio sam jedinicu koja je označena kao u Japanu. Tako da sam siguran da je ova mašina je napravljena u Japanu.

5.5. Nippo (1956) Nippo Kikai Kougyo (mašinske industrije) je proizvođač i distributer i poslovni prostor opreme. Počelo je da se proizvodnja i prodaja mehaničke mašina za računanje 1956., ali zaustavljen 1961. godine. Oni su pokrenuli Model 101 1956, a model 202 1958

Nippo 101 (1956)
Nippo 101 (1956)

Nippo 202 (1958)
Nippo 202 (1958)

5.6. Keybar (1957) KeybarKeybar Proračun Machine Co, Ltd je osnovana 1957. Izgleda da su imitirali Brunsviga Model 10. Keybar Model A-1 (1957?)
5.7.PILOT (1961) PILOT je poznati japanski stacionarne proizvođača roba i distributer. PILOT spojio Keybar i ponovno nazvao ga PILOT Jimuki (business machine) Co, Ltd.PILOT zaustavio svoje poslovanje mehaničkih kalkulatora oko 1969.

PILOT P-1 (1961)
PILOT P-1 (1961)

PILOT P-3 (1967)
PILOT P-3 (1967)

6. Mehanički računske mašine nestane oko 1970
Mnogi motor prešao MonroeFriden i Marchant strojevi su bili na radu u prostorijama tokom 1960-ihJapanski proizvođači počela da razvija motorna kalkulator u kasnim 1950-ih. Oni su radili vrlo teško pokušava da razvije mašinu bolje od uvozne.

Oni nisu znali, međutim, da elektronski inženjeri su već razvijaju brže i tihi kalkulatora u različitim kompanijama.

Prvi elektronski kalkulator ANITA je pokrenut u Engleskoj 1963. godine Sumlock komptometar LTD, a ubrzo je usledila Sharp, Canon, Casio i mnoge druge kompanije.

Tiger nije imao mogućnosti za razvoj elektronike kalkulatori, tako da su prodali uvoze ANITA je. Kasnije su pokrenuli kao OEM neki Tiger elektronskih kalkulatora tokom kasnih 1960-ih. Ali, bilo je prekasno.

Nippon računske mašine pokrenula elektronike kalkulatora sa imenom Busicom, poznat za izradu mikroprocesora i4004 sa Intel u 1971. Busicom osporava Sharp, Casio i ostali kompanija, ali je propala oko 1974. godine.

Stariji Japanski ljudi pamte mehaničkih mašina za računanje kao Proračun Tiger. Mnogi bi biti iznenađeni da znaju da je Tiger Kompanija je sada živ. Tiger je promenio ime kompanija iz tiger računske mašine za Tiger Co., Ltd ., Koja je u poslovnom iznajmljivanja zgrade. Sjedištem zgrada stoji na zemlji gdje je fabrika jednom. To je visok porast (s više od 20 priča) zgrade koja ima memorijalni krov sa mašinom oblik Tiger.

Busicom Co, Ltd je ponovo ugraditi nekoliko godina kasnije, ali većina ljudi to ne znaju. Oni su sada u različitim poslovnim. Oni ne govore o više kalkulatore.


Reference:

1) Japanski patenata

2) Japanski Službeni glasnik

3) “Maboroshi ne Keisanki” Izvještaj “Vo1 br.4 A.Uchiyama, 1983

4) Jimukikai strane knjige, 1954

5) Poslovni mašina varenje. 1961, 1964, 1966, 1968, 1970, 1972, 1974

6) godišnjicu tvrtke brošure Tiger 30 godina, Maruzen 100 godina, Uchida Yoko 50 godina, Nippon Jimuki 50 godina, Itohki 80 godina, Toshiba 80 godina, PILOT 60 godina.

7) Tokio Rikadaigaku Science Museum

8) Kikaisiki Keisannki ne Kinenbutsu (spomen materijala Mehanička mašina za računanje) H.Namikawa, 1986

Fibonacci niz, puževa i zlatna sredina

Source: https://math.temple.edu/~reich/Fib/fibo.html

Fibonačijev niz pokazuje određenu brojčanu obrazac koji je nastao kao odgovor na vježbu u prvu srednju školu algebra tekst. Ovaj obrazac se ispostavilo da imaju interes i značaj daleko izvan onoga što njegov tvorac zamislio. Može se koristiti za modeliranje ili opisati neverovatan raznih fenomena, u matematici i znanosti, umjetnosti i prirode. Matematičke ideje Fibonačijev niz vodi, kao što je zlatni omjer, spirale i samo- slične krivulje, već dugo cijenjena za svoje šarm i ljepotu, ali niko ne može stvarno objasniti zašto su odjekivali tako jasno u svijetu umjetnosti i prirode.

Priča je počela u Pizi, Italija u godini 1202. Leonardo Pisano Bigollo bio mladić u svojim dvadesetim godinama, član važno trgovačko porodice Pisa. Na svojim putovanjima širom Bliskog istoka, bio je očaran matematičke ideje koja je došla zapadno od Indije preko arapskih zemalja. Kada se vratio u Pisa objavio je ovih ideja u knjizi o matematici zove Liber Abaci, koja je postala orijentir u Evropi. Leonardo, koji je u međuvremenu postao poznat kao Fibonacci, postao je najslavniji matematičar srednjeg vijeka. Njegova knjiga je diskurs o matematičke metode u trgovini, ali je sada zapamćena uglavnom za dva doprinosa, jedan očito važno u to vrijeme i jedan naizgled beznačajan.

Je važno: on je skrenuta pažnja Evrope Hindu sistem za brojeve pisanje. Evropska trgovaca i učenjaci su se još drži na upotrebu starog rimskim brojevima; moderne matematike bi bilo nemoguće bez ove promjene na hindu sistem, koji zovemo arapski zapis, jer je došao na zapad kroz arapski zemalja.

Drugi: skriven u listu mozga teasera, Fibonacci postavio sljedeće pitanje:

Ako je par zečeva smješten u zatvorenom prostoru, koliko kunića će se roditi tamo, ako pretpostavimo da svaki mjesec par zečeva proizvodi još jedan par, i da zečevi početi nositi mladi dva mjeseca nakon rođenja?

Ova naizgled nevino malo pitanje ima kao odgovor određeni niz brojeva, poznat sada kao Fibonačijev niz, što se ispostavilo da je jedan od najzanimljivijih ikada zapisano. Ona je ponovo otkrio u zapanjujuće različitim oblicima, u granama matematike daleko izvan jednostavnih aritmetike. Njegova metoda razvoja doveo je do dalekosežne aplikacije iz matematike i informatike.

Ali još više fascinantno je iznenađujuća pojava Fibonacci brojeva, i njihov relativni omjer, u arenama daleko od logičku strukturu matematike: u prirodi i umjetnosti, u klasičnoj teorije ljepote i proporcije.

Razmotrimo elementarne primjer geometrijskog rasta – aseksualna reprodukcija, kao i da je od ameba. Svaki organizam dijeli na dva nakon intervala vremena sazrijevanja karakteristika vrste. Ovaj interval varira nasumično, ali unutar određenog raspona prema vanjskim uvjetima, kao što su temperatura, dostupnost hranjivih tvari i tako dalje. Možemo zamisliti pojednostavljen model gdje, pod savršenim uvjetima, sve amebe split nakon istog perioda rasta.

Dakle, jedan amebe postaje dva, dva postao 4, zatim 8, 16, 32, i tako dalje.

Dobijamo udvostručenje slijed. Obratite pažnju na rekurzivna formula:

  • An = 2An

To, naravno, dovodi do eksponencijalnog rasta, jedna od karakteristika obrazac rasta stanovništva.


Sada u zeca situaciji Fibonacci, tu je faktor lag; svaki par potrebno neko vrijeme da sazrije. Dakle, mi pretpostavljamo

  • vrijeme sazrijevanja = 1 mjesec
  • vrijeme trudnoće = 1 mjesec

Ako ste bili da probate ovo u svom dvorištu, evo šta će se desiti:


Sada da se računalo nacrtati još nekoliko linija:



Obrazac vidimo ovdje je da svaki kohorte ili generacija ostaje kao integralni dio sljedećeg, a osim toga, svaki odrastao par doprinosi bebu par. Broj takvih beba parova odgovara ukupnom broju parova u odnosu na prethodnu generaciju. simbolično

  • Fn = broj parova u toku mjeseca n
  • Fn = Fn-1 + Fn-2

Dakle, imamo rekurzivna formula u kojoj se definira svaka generacija u smislu prethodne dvije generacije. Koristeći ovaj pristup, možemo sukcesivno izračunati Fn onoliko generacije kako mi to volimo.

Dakle, ovo niz brojeva 1,1,2,3,5,8,13,21, … i rekurzivna način izgradnje je ad infinitum, rješenje za Fibonacci slagalice. Ali ono što Fibonacci nije mogao da predvidi je bezbroj aplikacija koje ove brojeve i ova metoda će na kraju imati. Njegova ideja je bila plodnija od svog kunića. Samo u smislu čiste matematike – teorija broj, geometrija i tako dalje – obim njegova ideja je bila toliko velika da je čitav stručni časopis posvećena je to – kvartalno Fibonacci.

Sada pogledajmo još jedan razumno prirodnih situacija u kojoj isti niz “misteriozno” iskoči. Vratite se 350 godina u Francuskoj 17. stoljeća. Blaise Pascal je mladi Francuz, učenjak koji je rastrzan između svoje uživanje geometrije i matematike i njegova ljubav za religije i teologije. U jednom od svojih više zemaljskih trenutaka on konsultuju prijatelj, profesionalni kockar, Chevalier de Mé ré, Antoine Gombaud. Chevalier pita Pascal neka pitanja u vezi predstave na kockice i kartice, te o pravilnom podjelom ulog u nedovršenoj igri. odgovor Pascal je da izmisle potpuno nova grana matematike, teorije vjerojatnosti. Ova teorija je narasla tijekom godina u vitalno sredstvo 20. stoljeća za nauku i društvene nauke. Pascal rad u velikoj mjeri oslanja na skup brojeva sada zove Pascal trougao, i predstavlja ovako:

Ova konfiguracija ima mnogo zanimljivih i važna svojstva:

  • Obratite pažnju na lijevo-desno simetrija – to je vlastitu sliku u ogledalu.
  • Imajte na umu da u svakom redu, drugi broj računa reda.
  • Imajte na umu da u svakom redu, 2. + 3. Broji brojeva iznad te linije.

Postoje beskrajne varijacije na ovu temu.
Zatim, primetili šta se dešava kada saberemo brojeve u svakom redu – dobijamo dupliranje slijed.

Sada za vizualne udobnosti nacrtati trokut lijevo-opravdano. Saberete brojeve na različitim dijagonalama …

i dobijemo 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,. . . Fibonacci slijed!

Fibonacci nije mogao znati o vezi između njegovog zečevi i teorije vjerovatnoće – teorija nije postojao do 400 godina kasnije.

Ono što je zaista zanimljivo o slijed Fibonacci je da je njegov obrazac rasta u neki misteriozan način odgovara snagama kontrolu rasta u veliki izbor prirodnih dinamičkih sistema. Sasvim analogan reprodukciju kunića, uzmimo porodično stablo pčele – tako gledamo predaka, a ne potomci. U pojednostavljenom reproduktivnog modela, mužjak pčele vratašca iz neoplođenih jaja i tako on ima samo jednog roditelja, dok se ženski vratašca iz oplođene jajne i ima dva roditelja. Ovdje je porodično stablo tipičnog muškog pčela:

Imajte na umu da ovo izgleda kao zeca grafikonu, ali kreće unazad u vremenu. Muški preci u svakoj generaciji formiraju Fibonaccijev niz, kao i ženski predaka, kao što to čini ukupno. Možete vidjeti iz drvo koje pčela društvo ženski dominira.

Najpoznatiji i lijepe primjere pojave Fibonaccijev niz u prirodi se nalaze u različitim drveća i cvijeća, uglavnom asocirani sa nekom vrstom spiralne strukture. Na primjer, odlazi na stabljike cvijeta ili grane stabla često raste u spiralni obrazac, spiralno aroung grana kao novi lišće formiraju dalje van. Zamislite ovo: Imate grana u ruci. Obratite pažnju na određenoj list i početi brojanje okolo i prema vani. Računati lišće, i brojati broj poteza oko grane, dok se ne vratite na poziciju koja odgovara originalnom list, ali dalje duž grane. Oba broja će biti Fibonacci brojeve.

Na primjer, za kruške će biti 8 lišća i 3 kruga. Evo nekih primera:
Grane Fibonacci porodice
Drvo                Lišće   Skretanja
Brijest             2           1
Cherry             3          2
Bukva              3          1
Topola             5          2
Žalosne vrbe  8          3
Kruška            8          3
Badema          13        8

Možete prošetati u parku i da je ovo obrazac na biljke i grmlja vrlo lako.

Mnogi cvijeće pruža prekrasan potvrda Fibonacci mistike. A Daisy ima centralnu jezgru koja se sastoji od sitnih cvetova raspoređeni u suprotnim spiralama. Tu su obično 21 ide na lijevo i 34 na desnoj strani. Planina aster može imati 13 spirala na lijevoj i 21 na desnoj strani. Suncokreti su najspektakularniji primjer, obično ima 55 spirala u jednom pravcu i 89 u drugoj; ili, u najboljem sorti, 89 i 144.

Šišarke su također izgrađene u spiralu način, male imaju obično s 8 spiralama jedan način i 13 s druge strane. Najinteresantniji je ananas – izgrađen od susjednih heksagona, tri vrste spirala se pojaviti u tri dimenzije. Postoji 8 na desno, 13 lijevo, a 21 vertikalno – što je Fibonacci trostruko.

Zašto bi to bilo? Zašto je Majka Priroda pronašao evolutivna prednost u uređenje biljnih struktura u spiralu oblika izlaže slijed Fibonacci?

Mi nemamo određene odgovor. 1875. godine, matematičar po imenu Wiesner dao matematički demonstracija da je spiralni raspored lišće na grani u Fibonacci proporcijama je efikasan način da se okupe u maksimalnom iznosu od sunčevih zraka sa nekoliko listova – on je tvrdio, na najbolji način. Ali je nedavno, a Cornell University botaničar po imenu Karl Niklas odlučio testirati hipotezu u svojoj laboratoriji; otkrio je da gotovo svaki razuman raspored lišća ima istu sposobnost suncu prikupljanja. Dakle, mi smo još uvijek u mraku o svjetlu.

Ali ako mislimo u smislu obrasce prirodnog priraštaja mislim da možemo početi da shvati prisustvo spirale i veza između spirale i Fibonačijev niz.

Spirale proizlaze iz imovine rasta zove samosličnosti ili skaliranje – tendencija da raste u veličini, ali da se održi isti oblik. Nisu svi organizmi rastu u ovom samo-sličan način. Vidjeli smo da odrasle osobe, na primjer, ne samo povećava se beba: bebe imaju veće glave, kraće noge, a duži torzo u odnosu na njihovu veličinu. Ali ako pogledamo na primjer na školjku komorom Nautilus vidimo differnet obrazac rasta. Kao nautilus nadrasta svaku komoru, gradi novi komore za sebe, uvijek isti oblik – ako zamislite veoma dugotrajni nautilus, njegova bi granata spiralno oko i oko, postaju sve veći, ali uvijek u potrazi isto na svakom nivou.

Ovdje je mjesto gdje Fibonacci dolazi u – možemo izgraditi četverougaonu vrstu Nautilus počinju sa kvadrat veličine 1 i sukcesivno gradi na novim prostorijama čija veličina odgovara Fibonaccijev niz:

Prolazi kroz centre trgova kako bi sa glatkom krivu dobijamo Nautilus spirala = suncokreta spirala.

Ovo je poseban spirala, self-sličan kriva koja zadržava svoj oblik na svim skalama (ako zamisliti izmicala zauvijek). To se zove jednakougaoni jer radijalne linije od centra uvijek čini isti ugao na krivu. Ova kriva je bio poznat Arhimed antičke Grčke, najveći geometar davnih vremena, a možda i svih vremena.

Trebalo bi da stvarno misliš ove krivulje kao spiralno prema unutra zauvijek, kao i prema vani. Teško je da bi privukli; možete vizualizirati vode vrtložne oko malog drainhole, biti uvučena u bliži jer spirale ali nikada pada u Ovaj efekat se govori još jedan klasični mozga teaser.:

Četiri bube stoje na četiri ugla kvadrata. Oni su gladni (ili usamljeni) i na istom trenutku svaki od njih vidi bug na sljedećem uglu preko i početi puzeći prema njemu. Šta se dešava?

Slika je priča. Dok su puzati jedni prema drugima oni spiralno u centru, uvijek formira sve manje kvadratnih, okreće i oko zauvijek. Ipak, oni do jedni druge! To nije paradoks, jer je dužina ove spirale je konačna. Oni prate se isto jednakougaoni spirala.

Sada jer su sve ove spirale su sebi slične oni izgledaju isto na svakom skala – skala nije bitno. Ono što je bitno je proporcija – ove spirale imaju fiksnu proporcija određuju njihov oblik. Ispostavilo se da je ovaj odnos je isti kao i proporcije generiše uzastopnih unosa u Fibonačijev niz: 5: 3, 8: 5,13: 8, i tako dalje. Ovdje je izračun:

Proporcije Fibonacci

Kao što smo ići dalje u slijed, proporcije susjednih termina počinje da se približi fiksnu granična vrijednost 1,618034. . . Ovo je vrlo poznati odnos sa dugom i čast povijest; Zlatna srednja vrijednost Euclida i Aristotela, božanski udio Leonardo daVinci, smatra najlepšim i važna količina. Ovaj broj ima više primamljiva svojstva nego što možete zamisliti.

Do jednostavna računica, vidimo da, ako oduzmemo 1 dobijamo .618. . što je i njegova recipročna. Ako tome dodamo 1 dobijamo 2.618. . . što je i njegova trgu.

Koristeći tradicionalni naziv za ovaj broj, grčko slovo Φ (“fi”), možemo pisati simbolično:

Rješavanje ovog kvadratna jednačina dobijamo

Evo još nekih čudnih ali fascinantne izraze koji se mogu izvesti:

, beskonačnu kaskada korijena.

, beskonačnu kaskadu frakcija.

Koristeći ovaj zlatni odnos kao temelj, možemo izgraditi eksplicitnu formulu za brojeve Fibonacci:

Formula za brojeve Fibonacci:

Ali Grci su imali više vizualni gledišta o zlatna sredina. Pitali su: što je najprirodniji i dobro proporcionalan način podijeliti linija na 2 komada? Nazvali su ovo poglavlje. Grci su smatrali snažno da idealni treba da odgovara odnos između dijelova sa onim dijelovima u cjelini. Ovo rezultira u količini tačno Φ.

Formiranje pravougaonik sa sljedećim linije kao strane rezultati u vizualno ugodan oblik koji je bio temelj njihove umjetnosti i arhitekture. Ovaj estetski je usvojen od strane velikih renesanse umjetnici u slikarstvu, i dalje je s nama danas.


Dan Reich
Odjel za matematiku, Temple University

Na evoluciju geometrijske algebre i geometrijske račun

Source: http://geocalc.clas.asu.edu/html/Evolution.html

Iako Leibniz zglobni san o univerzalnom geometrijskih račun u sedamnaestom stoljeću, njegova realizacija je počela 1844. godine sa Hermann Grassmann je veliki posao Die Lineale Ausdehnungslehre. Grassmann je vizija bila toliko daleko ispred svog vremena, međutim, da je bilo potrebno više od jednog stoljeća da se široko cijenjen [Schubring, 1996]. U međuvremenu Grassmann prodrli duboko u razmišljanje, kao odličan matematičara kao Peano [1888] i Whitehead [1848], ali njihov rad nije unapred ili proglasi svoju viziju. Mnoge njegove ideje su ponovo otkrili i / ili dalje razvijati anonimno u različitim granama matematike, ali bez njegovog ujedinjenja perspektive.

Grassmann program za razvoj univerzalnog geometrijski račun. Ponovna pojava na scenu 1966. s knjigom Space-Time Algebra (STA) David Hestenes, a prefinjenost njegove doktorske disertacije (UCLA, 1963). Ideja geometrijskih algebre je s obzirom na moderni oblik i osnaženi za više od jednog stoljeća avansa iz matematike i fizike od Grassmann. Glavni matematički progenitorima geometrijska algebra (GA) i geometrijske račun (GC) prikazani su u Family Tree ispod. Uloge teorijske fizike i skripte Marcel Riesz [1958] u podsticanju početnih sintezu su opisane u članku Klifforda Algebra i tumačenje kvantne mehanike. Sve u svemu, aplikacije za fiziku učinio više da napreduje GA nego čisto istraživanje matematike.

Knjiga “Prostor-vrijeme algebra” pruža neku vrstu “dokaz koncepta.” To je pokazao kako geometrijski algebra nudi kompaktan, koordinira bez formulacije za osnovne jednadžbe fizike, kao i nove uvide u njihove geometrijske strukture. Međutim, da bi se u potpunosti iskoriste ove nove formulacije, nove računarske alate i metode ili, u najmanju ruku, koordinira bez preformulisanja i adaptacije starih metoda bilo je potrebno. Ovo je podstakao razvoj Geometrijske Calculus duž nekoliko linija do današnjih dana.

Najsveobuhvatniji tretman matematičke teorije je dat u knjizi Klifforda “Algebra na geometrijske račun” [1984]. Osim posljednje poglavlje dodao 1979., rukopis je bio spreman za objavljivanje po 1976, ali se nije pojavio u tisku do 1984. godine, zahvaljujući nesrećni serije izdavačke nezgoda. Radovi sa nastavcima i poboljšanja u računu se prikupljaju u Universal Geometrijski Calculus. Sa opštim argumente i mnogo primjera, slučaj je napravljena tamo i drugdje da geometrijski algebra je efikasniji generalni računarskih alata od matrice algebre. Stoga je kandidat da zameni (ili podvesti) matrice algebre u kompjuterski softver i softver dizajna za naučna računanja. Zaista, korištenje geometrijske algebre u Computer-Aided geometrijski dizajn, Computer Vision i robotike se brzo širi.

Prijave GA fizici su sada tako raznolika i opsežna da postoji potreba da se organizira u knjigama za veću dostupnost. U međuvremenu, na web stranicama GA ovdje i na Cambridge služe toj funkciji u obliku “online knjiga.” To su samo stranicama izričito bavi razvojem Universal Geometrijski . Najuzbudljiviji dešavanja su u relativističke kvantne mehanike i teorije gravitacije, gdje GA je donio nove uvide i pojednostavljenja. Knjiga je u toku Spacetime račun je zamišljen kao kompaktni uvod u ovoj oblasti.

 

Reference

W. K. Clifford, “Primjena Grassmann obimne Algebra,” American Journal of Mathematics 1878. godine, I: 350-358.

H. Grassmann 1844, “Linear Teorija Extension” (Die Lineale Ausdehnungslehre), preveo L. C. Kannenberg u Ausdehnungslehre “iz 1844. i drugih radova (Chicago, La Salle:. Open Court Publ 1995).

G. Peano, Geometrijski Calculus prema Ausdehnungslehre [1888] H. Grassmann, prijevod copyright 1997. godine L. Kannenberg, koje možete kontaktirati na [email protected]

M. Riesz, Clifford Brojevi i spinori, (iz skripte je u 1957-8). Uredio E. Folke Bolinder i P. Lounesto, Kluwer Academic Publisher, [1993].

G. Schubring (ur.), 1996, Hermann Gunther Grassmann (1809-1877): Vizionar matematičar, naučnik i Neohumanist Scholar, 243-245, Kluwer Academic Publisher.

A. N. Whitehead, 1898. godine, “A rasprava o univerzalnom Algebra sa Aplikacije”, Cambridge University Press, Cambridge, (Reprint: Hafner, New York, 1960).

Nedavni Knjige na geometrijske/Clifford algebra i račun

D. Hestenes and G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus.

D. Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics.

D. Hestenes, Space-Time Algebra.

D. Hestenes, Space-Time Calculus.

R. Delanghe, F. Sommen and V. Soucek, Clifford Algebra and Spinor-Valued Functions, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht/Boston (1992).

P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, Cambridge (1997).

R. Ablamowicz & B. Fauser (Eds.), Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Vol. 1 & 2 (Birkhauser, Boston, 2000).

E. Bayro Corrochano & G. Sobczyk, Geometric Algebra with Applications in Science and Engineering  (Birkhauser,  Boston 2001).

L. Dorst, C. Doran & J. Lasenby (Eds.), Applications of Geometrical Algebra in Computer Science and Engineering (Birkhauser, Boston, 2002)

W. Baylis, Electrodynamics: A Modern Geometric Approach  (Birkhauser, Boston, 1999).

A. Lasenby & C. Doran, Geometric Algebra for Physicists (Cambridge U. Press, Cambridge 2002).

Četiri boje teorema

Source: http://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html

Ova stranica daje kratak pregled novog dokaza o četiri boje teorem i četiri-bojanje algoritam pronašao Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour i Robin Thomas.



Sadržaj:

  1. Istorija.
  2. Zašto je novi dokaz?
  3. Nacrt dokaz.
  4. Glavne karakteristike našeg dokazivanja.
  5. Konfiguracije.
  6. Pražnjenja pravila.
  7. Pokazivači.
  8. Kvadratna algoritam.
  9. Diskusija.
  10. Reference.

Istorija.

Problema Četiri Boje datira iz 1852 kada je Francis Guthrie, dok je pokušavao da obojiti kartu okruga Engleske primijetio da četiri boje dovoljan. On je zatražio od brata Frederick da li je istina da je bilo karta može biti u boji pomoću četiri boje na takav način da se susjedna područja (i.e. oni dijele zajedničku granicu segmentu, ne samo bod) dobijaju različite boje. Frederick Guthrie onda komunicirao je nagađanja da DeMorgan. Prvi štampani referenca je zbog Cayley 1878. godine.

Godinu dana kasnije prvi ‘dokaz’ Kempe pojavio; svoje neispravnost je istakao Heawood 11 godina kasnije. Drugi nije dokaz je zbog Tait 1880.; jaz u argument je istakao Petersen u 1891. Oba nisu dokazi da li imaju neku vrijednost, iako. Kempe je otkrio ono što je postalo poznato kao Kempe lanaca, i Tait pronašao ekvivalent formulacija četiri boje teorema u smislu 3-ruba-bojanje.

Sledeći veliki doprinos došao od Birkhof čiji je rad dozvoljen Franklin 1922. dokazati da je boja pretpostavka četiri važi i za mape s najviše 25 regija. Također je koristio drugi matematičari da razne oblike napredak o problemu četiri boje. Trebalo bi posebno spomenuti Heesch koji je razvio dva glavna sastojka potrebna za konačni dokaz – reducibilnosti i pražnjenja. Iako je koncept reducibilnosti je studirao od strane drugih istraživača, kao i, čini se da je ideja pražnjenja, od ključne važnosti za neminovnost dio dokaza, je zbog Heesch, i da je on bio taj koji pretpostavili da odgovarajući razvoj ove metode bi riješiti četiri boje problem.

To je potvrdio i Appel i Haken 1976., kada su objavili dokaz o četiri boje teorem [1,2].

Zašto je novi dokaz?

Postoje dva razloga zašto je Appel-Haken dokaz nije u potpunosti zadovoljavajući.

  • Dio Appel-Haken dokaz koristi kompjuter, i ne može potvrditi rukom, i
  • čak i dio koji je navodno ručno čekovni je izuzetno komplikovana i dosadan, a koliko nam je poznato, nitko nije potvrđen je u cijelosti.

Imamo zapravo pokušao provjeriti Appel-Haken dokaz, ali je ubrzo odustao. Provjera računar dijelu ne bi samo zahtijeva puno programiranja, ali i unosite opise 1476 grafikone, a da nije ni najkontroverzniji dio dokaza.

Odlučili smo da bi bilo isplativije raditi iz vlastitog dokaz. Tako smo i došli do dokaza i algoritam koji su opisani u nastavku.

Nacrt dokaz.

Osnovna ideja dokaz je isti kao Appel i Haken-a. Mi pokazuju set 633 “konfiguracije”, i dokazati svaki od njih je “svesti”. Ovo je tehnički koncept koji podrazumijeva da nema konfiguraciju sa ove nekretnine može se pojaviti u minimalnom protivprimer u četiri boje teorem. To se može koristiti u algoritam, jer ako se svesti konfiguraciju pojavljuje u planarne graf G, onda se može izgraditi u konstantnom vremenu manjem planarne graf G ‘tako da bilo koja četiri-bojanje G’ se može pretvoriti u četiri bojanje G u linearnom vremenu.

Poznato je od 1913. da je svaki minimalne protivprimer u četiri boje teorem je interno 6 povezan triangulacije. U drugom dijelu dokaz smo dokazati da je barem jedan od naših 633 konfiguracije pojavljuje u svakom interno 6 povezanih planarne triangulacija (ne nužno minimalnu protivprimer na 4CT). To se zove dokazuje neminovnost, i koristi “pražnjenja način”, prvi predložio Heesch. Evo naša metoda razlikuje se od Appel i Haken.

Glavne karakteristike našeg dokazivanja.

Mi smo potvrdili pretpostavke o Heesch da u dokazivanju neminovnost, a svodi konfiguracije mogu se naći u drugom naselju u “naplatio” Vertex; ovo je kako izbjeći “potapanje” Problemi koji su bili glavni izvor komplikacija za Appel i Haken. Naš nezaobilazni set ima veličinu 633 u odnosu na set 1476 član Appel i Haken, a naša metoda pražnjenja koristi samo 32 pravila pražnjenje, umjesto 300+ od Appel i Haken. Konačno, dobijamo kvadratnu algoritam za četiri boje planarni grafovi (opisano kasnije), što je napredak u odnosu na četvrtog algoritam Appel i Haken.

Konfiguracije.

A u blizini-triangulacije je ne-null povezani loopless avion grafikon tako da svaki konačan regija je trokut. Konfiguracija K se sastoji od gotovo triangulacije G i kartu g od V (G) na cijele brojeve sa sljedećim svojstvima:

  1. za svaki vrh v, G \ v ima najviše dvije komponente, a ako postoje dva, onda stepen v je g (v) -2,
  2. za svaki vrh v, ako v nije incident sa beskonačnim regiji, onda G (v) jednak stepen v, i inače G (v) je veći od stepena v; au oba slučaja G (v)> 4,
  3. K ima prsten veličine najmanje 2, gdje se definira prsten veličine K biti zbir G (v) -deg (v) -1, sažeti u odnosu na sve čvorove u incident sa beskonačnim regiji tako da G \ v je povezan.

Prilikom izrade slike konfiguracije koristimo konvenciju uveo Heesch. Oblici čvorova ukazuju na vrijednost g (v) kako slijedi: A solid crni krug znači g (v) = 5, tačku (ili ono što se pojavljuje u sliku bez simbola na sve) znači g (v) = 6, šuplje krug znači g (v) = 7, šuplji kvadrat znači g (v) = 8, trokut znači G (v) = 9, i Pentagona znači G (v) = 10. (Ne treba nam vrhova v sa G (v)> 11, a samo jedan Vertex sa G (v) = 11, za koje mi ne koristimo nikakve posebne simbol.) Na slici ispod 17 naših 633 svesti konfiguracije se prikazuju pomoću naznačeno konvencije. Čitav set se može pogledati klikom ovdje. (Mi se odnose na (3.2) od naših papira [7] za značenje “debelih rubova” i “polu-rubova” u te slike.)



Bilo konfiguraciju kompatibilnim s jednom od 633 konfiguracije izložene u [7] se zove dobar konfiguraciju. Neka T biti triangulacije. Konfiguracija K = (G, G) se pojavljuje u T ako G je inducirana podgraf T, svaki konačan regija G je region T, i G (v) jednak stepen v u T za svaki vrh v G . Mi smo dokazati sljedeće dvije izjave.

Teorem 1. Ako T je minimalna protivprimer u četiri boje teorem, onda nije dobro konfiguracije pojavljuje u T.

Teorem 2. Za svaku interno 6 povezanih triangulacije T, neke dobre konfiguracije pojavljuje u T.

Iz navedenog dva teoreme slijedi da nema minimalne protivprimer postoji, i tako je 4CT je istina. Prvi dokaz je potreban kompjuter. Drugi se može provjeriti ručno u nekoliko mjeseci, ili, koristeći računalo, može se provjeriti oko 20 minuta.

Pražnjenja pravila.

Neka je T interno 6 povezan triangulacije. U početku, svaki vrh v je dodijeljen zadužen za 10 (6-stepeni (v)). To slijedi iz Eulerova formula koja je zbir optužbi svih vrhova je 120; Konkretno, to je pozitivno. Sada redistribuirati i naknade u skladu sa sljedećim pravilima, kao što slijedi. Kad god T ima podgraf kompatibilnim s jednom od grafikona na slici ispod zadovoljavaju specifikacije stepen (za tjeme V pravilo s negativnim predznakom pored v to znači da je stepen odgovarajuće tjemena T je najviše vrijednosti navedeno u obliku v, i analogno za čvorova sa znakom plus pored njih; jednakost je potreban za čvorove bez znaka pored njih) je zadužen za jedan (dva u slučaju prvo pravilo) treba poslati uz rub označen strelicom.



Ovaj postupak definira novi set naknada sa istim ukupnog iznosa. S obzirom da je ukupna suma je pozitivan, postoji temena v u T čija je nova zadužen je pozitivan. Mi smo pokazali da je dobra konfiguracija se pojavljuje u drugom naselju v.

Ako se stupanj v je najviše 6 ili barem 12, onda se to može vidjeti prilično lako direktnim argument. Za preostalih slučajeva, međutim, dokaza su mnogo kompliciranije. Stoga, smo pisali dokaze u formalnom jeziku, tako da se mogu provjeriti na računaru. Svaki pojedinac korak od tih dokaza je ljudski-provjerljive, ali sami dokazi nisu baš čekovni rukom, zbog svoje dužine.

Pokazivači.

Teorijski dio našeg dokazivanja opisano u [7]. Istraživanje 10-stranica je dostupna on-line. kompjuterskih podataka i programa koji se koriste u koji se nalazi na anonimnom FTP server, ali taj server je ukinut. Isti datoteke su sada dostupni iz http://www.math.gatech.edu/~thomas/OLDFTP/four/ i mogu se jednostavno pregledane. Nezavisni skup programa je napisao Gasper Fijavz pod vodstvom Bojana Mohar.

Kvadratna algoritam.

Ulaz u algoritam će biti avion triangulacije G s n vrhova. (Ovo je bez gubitka općenitosti, kao i svaka planarna grafikona može se triangulated u linearnom vremenu.) Izlaz će biti bojenje od temena G sa četiri boje.

Ako G ima najviše četiri temena obojiti svaki čvor različite boje. U suprotnom, ako G ima tjeme x stepena k <5, zatim krug C oko njega je `k-prsten ‘. Idite na analizu k-prsten ispod. U suprotnom G ima minimalan stepen pet. Za svaki vrh smo izračunati svoju snagu kao što je gore objašnjeno, i naći temena V pozitivan naboj. To slijedi iz naše dokaz Teorema 2 da bilo dobro konfiguraciju pojavljuje u drugom naselju v (to kom slučaju se može naći u linearnom vremenu), ili k-prsten krši definiciju interne 6-veza može se naći u linearnom vremenu. U ovom drugom slučaju idemo na analizu k-prsten ispod, u prvom slučaju primjenjujemo rekurzije na određeni manji graf. A četiri-bojanje G onda mogu biti izgrađeni od četiri-bojenje ovaj manji grafikona u linearnom vremenu.

S obzirom na k-prsten R krši definiciju interne 6-priključak postupak razvio Birkhof mogu se koristiti. Mi se odnose rekurzije dva pažljivo odabrana podgrafove G. A četiri-bojanje G onda mogu biti izgrađeni od četiri boje u dva manja grafikona u linearnom vremenu.

Diskusija.

Treba napomenuti da su naši programi koriste samo cijeli aritmetike, pa ne moramo biti zabrinuti sa povratno off greške i slične opasnosti od floating point aritmetike. Međutim, argument može biti da je naš ‘dokaz’ nije dokaz u tradicionalnom smislu, jer sadrži korake koji nikada ne može biti potvrđen od strane ljudi. Konkretno, nismo dokazali ispravnost kompajler smo sastavili naše programe, niti smo dokazali nepogrešivost hardvera smo ran naše programe na. Ovi se moraju uzeti u vjeri, i da su ubjedljivo izvor pogreške. Međutim, iz praktičnih gledišta, šanse kompjuter greška koja se pojavljuje stalno na isti način na sve staze naših programa na svim kompajlera u svim operativnim sistemima da su naši programi rade na je beskonačno mala u odnosu na priliku da ljudske greške u istom iznosu od slučaja provjere. Osim ove hipotetičke mogućnosti računara dosljedno daje pogrešan odgovor, ostatak naših dokaza može se provjeriti na isti način kao i tradicionalne matematičke dokaze. Mi priznaju, međutim, da provjere je kompjuterski program je mnogo teže nego provjera matematički dokaz iste dužine.

Priznanja.

Mi smo zadužili da Thomas Fowler, Christopher Carl Hekman i Barrett Zidovi za njihovu pomoć u pripremi ove stranice. Naš rad je djelomično podržan od strane National Science Foundation.

Reference.

  1. K. Appel i W. Haken, “Svaki planarna karta je četiri colorable”. Dio I. pražnjenja Illinois J. Math. 21 (1977), 429-490.
  2. K. Appel, W. Haken i J. Koch, “Svaki planarna karta je četiri colorable”. Dio II. Reducibilnosti, Illinois J. Math. 21 (1977), 491–567.
  3. K. Appel i W. Haken, “Svaki planarna karta je četiri colorable”, Suvremene matematike. 98 (1989).
  4. G. D. Birkof, “Reducibilnosti karata”, Amer. J. Math. 35 (1913), 114-128.
  5. H. Heesch, “Untersuchungen zum Vierfarbenproblem”, Hochschulskriptum 810 / A / B, Bibliographisches Institut, Mannheim 1969.
  6. A. B. Kempe, “Na geografski problem četiri boje”, Amer. J. Math., 2 (1879), 193-200.
  7. N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour i R. Thomas, “Teorema četiri boje”, J. kombiniraju. Teorija Ser. B. 70 (1997), 2-44.
  8. N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour i R. Thomas, Novi dokaz teorema četiri boje, Electron. Res. Objavljuje JAVNI OGL. Amer. Math. Soc. 2 (1996), 17-25 (elektronski).
  9. T.L. Saaty, “Trinaest šarene varijacije na Guthrie je pretpostavka četiri boje”, Amer. Math. Mjesečna 79 (1972), 2-43.
  10. T.L. Saaty i P. C. Kainen, “Problem četiri boje”. Napadi i osvajanja, Dover Publications, New York 1986. godine.
  11. P. G. Tait, “Napomena o teorema u geometriji položaja”, Trans. Roy. Soc. Edinburgh 29 (1880), 657-660.
  12. H. Whitney i W. T. Tutte, “Kempe lanaca i boju problem četiri”, u studije u teorija grafova, Part II (ur. D. R. Fulkerson), Math. Prof. Amerike, 1975, 378-413.

Što je topologije?

Source: http://www.math.wayne.edu/~rrb/topology.html

Kratko i idiosinkratsko odgovor

Robert Bruner

U osnovi, topologija je moderna verzija geometrije, proučavanje svih različitih vrsta prostora. Ono što razlikuje različite vrste geometrije jedni od drugih (uključujući i topologija ovdje kao neka vrsta geometrije) je u vrstama transformacija koje su dozvoljene prije nego što stvarno uzeti u obzir nešto promijenilo. (Ovo gledište je prvi put predložio Felix Klein, poznati njemački matematičar od kasnih 1800-i ranih 1900-ih.)

U običnom geometrija Euklidskom, možete se stvari oko sebe i okrenite ih, ali ne možete rastegnuti ili saviti ih. To se zove “podudarnost” u geometriji klasi. Dve stvari su podudarni ako možete postaviti jedan na vrhu druge na takav način da se u potpunosti odgovarati.

U projektivne geometrije, izmislio tokom renesanse da shvati perspektive crtež, dvije stvari se smatraju isto ako su oba prikaza istog objekta. Na primjer, pogledajte tanjir na stolu direktno iznad stola, i ploča izgleda krug, kao krug. Ali hoda nekoliko metara i pogleda, a to izgleda mnogo šire nego dug, kao što su elipse, zbog ugla si u. Elipse i kruga su projectively ekvivalent.

To je jedan od razloga što je teško naučiti da bi privukli. Oči i um rade projectively. Gledaju ovom eliptičan ploče na stolu, i mislim da je to krug, jer znaju šta se dešava kada pogledate na stvari pod uglom tako. Da biste saznali da bi privukli, morate naučiti da bi privukli elipsu iako vaš um govori “krug”, tako da možete izvući ono što zaista vidjeti, umjesto “ono što znaju da je”.

U topologije, bilo kontinuirane promjene koje se mogu kontinuirano poništiti je dozvoljeno. Dakle, krug je isto kao trougao ili kvadrat, jer ste upravo `povući na” dijelove kruga da uglovima, a zatim ispravi strane, da promenite krug u kvadrat. Onda samo “izgladiti to” da ga vrati u krug. Ova dva procesa su kontinuirano u smislu da tokom svakog od njih, u neposrednoj blizini mjesta, na početku su još uvijek u blizini na kraju.

Krug nije isto kao figura 8, jer iako možete zgazi usred kruga zajedno kako bi ga u figura 8 neprekidno, kada pokušate da ga poništiti, morate razbiti vezu u sredini i ovaj je diskontinuirani: tačke koje su sve u blizini centra od osam kraju se podijeliti u dvije serije, na suprotnim stranama kruga, udaljeni.

Još jedan primjer: tanjir i posudu su isti topološki, jer možete samo poravnati posudu u ploču. U najmanju ruku, to je istina ako koristite gline koja je još uvijek meka i još nije dobio otkaz. Kada oni otkaz postaju euklidska, nego topološka, ​​jer ne možete poravnati posudu duže bez lomljenja ga.

Topologija je gotovo najosnovniji oblik geometrije postoji. To se koristi u gotovo svim granama matematike u jednom ili drugom obliku. Tu je još osnovni oblik geometrije zove homotopije teorija, što je ono što sam zapravo studiram većinu vremena. Koristimo topologija za opisivanje homotopije, ali u homotopski teoriji dozvolimo toliko različitih transformacija koje su rezultat je više kao algebra nego kao topologije. Ovo ispada da bi bilo zgodno ipak, jer jednom kada je neka vrsta algebre, to možete učiniti proračune, i stvarno srediti stvari! I, iznenađujuće, mnoge stvari ovise samo o ovom više osnovnu strukturu (tip homotopije), a ne na topološki tip prostora, tako da proračuni ispostavi da vrlo koristan u rješavanju problema u geometriji mnogih vrsta.

Za opširnije esej na ovu temu sa šarmantnim dijagramima, pogledajte odgovor Neila Stricklanda, a za indeks povezanih eseja, pogledajte listi Dona Davisa.


Copyright (C) 2000 Robert R. Bruner. All rights reserved.