Talasna jednadžba

Original: http://www.ronaldkoster.net/WaveEquation.html

– Postanak i rješenja talasne jednačine

napisao Ronald Koster, verzija 1.0, 2005-03-25

Ključne riječi: ishodište valne jednadžbe

1. Uvod

Valovi se obično opisuju takozvanom talasna jednadžba: ∇²f – (1/c²)(∂²/∂t²)f = 0. Odakle ta jednačina? Kakve valove opisuje? Postoje li druge jednadžbe, tj. postoje li neke valne funkcije koje ne odgovaraju standardnoj valnoj jednadžbi?

2. Umanjeni jednodimenzionalni (1D) valovi

Može se definirati neupravljajući 1D talas f(x, t) sa konstantnom brzinom faze c=dx/dt kao što slijedi:

f(x + dx, t + dt) = f(x, t)     (2.1)

⇔ f + f_xdx + f_tdt = f ⇒ f_xc + f_t = 0     (2.2)

(2.2) ⇒ f_xxc + f_tx = 0 ⇒ f_xxc² + f_txc = 0     (2.3)

(2.2) ⇒ f_xtc + f_tt = 0     (2.4)

Oduzimanje (2.4) od (2.3) i korišćenje f_tx = f_xt daje:

f_xxc² – f_tt = 0 ⇔ f_xx – (1/c²)f_tt = (∂²/∂x² – (1/c²)∂²/∂t²)f = 0     (2.5)

Ovo je neoslabljena jednadžba 1D talasa. Prilično je općenito rješenje (možda opće rješenje, ali barem ono koje nas zanima):

f(x, t) = F(ct – x) + G(ct + x)     (2.6)

Kao što se lako može provjeriti na sljedeći način. Koristite U = ct – x i shvati (koristeći pravilo lanca):

F_xx = F_UU and F_tt = c²F_UU ⇒ F_xx – (1/c²)F_tt = F_UU – (1/c²)c²F_UU = 0     (2.7)

Sličan odbitak može se izvršiti za G i V = ct + x. Dakle, F i G su oba rješenja (2.5). A budući da (2.5) opisuje linearni operator, i njihov zbroj je rješenje.

F predstavlja val koji putuje u smjeru povećanja x konstantnom brzinom c. G predstavlja val koji putuje u suprotnom smjeru. Često G = 0.

3. Neublažujući trodimenzionalni (3D) valovi

Sada kada smo pronašli 1D jednadžbu neoslabljujućeg vala, željeli bismo pronaći 3D verziju. Mogući kandidat, čisto iz sličnih razloga, mogao bi biti:

f_xx + f_yy + f_zz – (1/c²)f_tt = ∇²f – (1/c²)(∂²/∂t²)f = ∂_μ²f = 0.     (3.1)

sa:

∂_μ ≡ (∂/∂x₁, ∂/∂x₂, ∂/∂x₃, ∂/∂x₄) and x₁ = x, x₂ = y, x₃ = z, x₄ = jct. ⇒ ∂_μ = (∇, (1/(jc))∂/∂t)     (3.2)

(koristeći pravilo lanca: ∂/∂x₄ = (∂/∂x_t)(∂t/∂x₄) = 1/(jc)(∂/∂t))

Operator ∂_μ² naziva se d’Alembertian.

Sad je pitanje: Opisuje li (3.1) neoslabljene 3D valove?

3.1 Test 1: Ravni talasi

Moglo bi se očekivati da su ravni valovi rješenje (3.1). Na osnovu prethodnog paragrafa znamo da ravni vala koji putuje u pozitivnom x pravcu ima oblik
f(r, t) = g(ct – x). Kao što se zamjenom g lako može provjeriti, rješenje je (3.1) zaista.

U slučaju da je izvor vala harmonijski oscilator, moglo bi se očekivati:

f(r, t) = Ae^jφe^{jk(ct – x)}     (3.3)

Po definiciji val bi trebao biti periodičan u x sa periodom λ, tako da:

kλ = 2π ⇒ k = 2&pi/λ     (3.4)

Takođe bi po definiciji trebalo biti periodično u t sa periodom T, tako da:

kcT = 2π     (3.5)

(3.4) i (3.5) ⇒ (2π/λ)cT = 2&pi ⇔ c = λ/T = λν     (3.6)Što znamo da je istina. Sada razmotrimo rotirani okvir u,v,w. Pretpostavimo da harmonijski ravni val putuje u pozitivnom pravcu u, tako da:

f(r, t) = Ae^jφe^{jk(ct –} u)     (3.7)

Neka je n jedinični vektor u pozitivnom pravcu u, e₁ jedinični vektor u pozitivnom pravcu x, e₂ jedinični vektor u pozitivnom pravcu y, e₃ jedinični vektor u pozitivnom pravcu z, θ₁ ugao između n i e₁, θ₂ ugao između n i e₂, θ₃ ugao između n i e₃. Lako je vidjeti da je slijedeće tačno:

u = xcosθ₁ + ycosθ₂ + zcosθ₃ = xe₁ ⋅ n + ye₂ ⋅ n + ze₃ ⋅ n = r ⋅ n     (3.8)

Uobičajeno primijetite da:

n ⋅ e_i = cosθ_i = (n₁e₁ + n₂e₂ + n₃e₃) ⋅ e_i = n_i     (3.9)

Zamjenom ovoga u (3.7) dobije se:

f(r, t) = Ae^jφe^{jk(ct –} n ⋅ r) = f(r, t) = Ae^jφe^{j(kct –} k ⋅ r) sa k = kn     (3.10)

Dakle (3.9) opisuje opći harmički ravni val u smjeru k. Zamjena u (3.1) saznaje (3.9) rješenje je (3.1) (koristeći k² = k₁² + k₂² + k₃²).

Da nismo započeli sa (3.7), već sa:

f(r, t) = g(ct – u)     (3.11)

Pronašli bismo:

f(r, t) = g(ct – r ⋅ n)     (3.12)

Za (koristeći U = ct – r ⋅ n, pravilo lanca, n ⋅ e_i = cosθ_i = n_i i n₁² + n₂² + n₃² = 1):

∂_t²g = c²g_UU i ∂_x²g = n₁²g_UU i ∂_y²g = n₂²g_UU i ∂_z²g = n₃²g_UU ⇒ ∂_μ²g = 0     (3.13)

Obavijest (3.10) je poseban slučaj (3.12). Do sada nismo razmatrali val koji putuje u suprotnom smjeru. To se lako može provjeriti (pomoću V = ct + r ⋅ n) da sljedeća jednadžba daje rješenje općenitog vala:

f(r, t) = g(ct – r ⋅ n) + h(ct + r ⋅ n)    (3.14)

Zaključak: Neublaženi ravni valovi (harmonijski ili ne) rješenje su (3.1).

3.2 Test 2: Sferni talasi

Razmotrimo val oblika:

f(r, t) = g(r)e^jωt     (3.15)

Da li je ovo valjano rješenje (3.1)? Zamijenimo ga u (3.1) i upotrijebimo ∇² u polarnim koordinatama:

∇² = (1/r²)∂_r(r²∂_r) + (1/(r²sinθ))∂_θ(sinθ∂_θ) + (1/(r²sin²θ))∂_φ²     (3.16)

(3.15) ⇒ ∂_μ²f = (∇²g)e^jωt + (ω²/c²)e^jωt = 0 ⇔ ∇²g + k²g = 0 (koristeći k = &omega/c)     (3.17)

∇²g = (1/r²)(d/dr)(r²g_r) = (1/r²)(2rg_r + r²g_rr) = (2/r)g_r + g_rr     (3.18)

Nadalje to shvatite:

(1/r)(d²/dr²(rg)) = (2/r)g_r + g_rr     (3.19)

Za:

(rg)_r = g + rg_r ⇒ (rg)_rr = g_r + g_r + rg_rr = 2g_r + rg_rr     (3.20)

Otuda (3.17) i (3.18) i (3.19) daju:

∇²g + k²g = (1/r)(rg)_rr + k²g = 0 ⇔ (rg)_rr + k²(rg) = 0     (3.21)

Općenito rješenje (3.21) je:

rg = ae^-jkr + be^jkr     (3.22)

Sa složenim konstantama a i b. Što se može provjeriti zamjenom u (3.21). Stoga je rješenje (3.15):

(3.1) i (3.15) ⇒ f(r, t) = (a/r)e^{jk(ct – r)} + (b/r)e^{jk(ct + r)}     (3.23)

Što u nedostatku vanjskog putujućeg vala pojednostavljuje na (korištenje A = |a| i φ = arga):

f(r, t) = (Ae^jφ/r)e^{jk(ct – r)}     (3.24)

Primijetite da ove vrste valova zapravo nisu oslabljene, jer padaju (prigušuju se) za 1/r. Također primijetite da talasi oblika:

f(r, t) = (Ae^jφ/rⁿ)e^{jk(ct – r)} i n ≠ 1     (3.25)

nisu rješenja valne jednadžbe (3.1). Iako i ove oblike smatramo talasanjem…

Primjer

Razmotrimo situaciju u kojoj izvor skladno emitira očuvano svojstvo E (na primjer energiju). Tada bi trebalo biti moguće opisati tok Φ količina te kao:

Φ = |f|²     (3.26)

sa f dato iz (3.24). Tada je količina E koja prolazi kroz sfernu površinu u r tada dana sa:

E = 4πr²|f|² = constant     (3.27)

Ergo, energija se ne gubi niti se stvara između površina na r = r₁ i r = r₂ sa r₂ > r₁.

3.3 Zaključak

Jednadžba (3.1) ima rješenja koja zaista identificiramo kao valove. Dakle, to je 3D jednačina vala. Iako nisu svi valni oblici rješenje za to, neki vrlo česti talasni oblici jesu. Budući da postoje i drugi oblici valova, to nije jedina moguća jednadžba valova. Međutim, ispostavilo se da je vrlo uobičajena pojava u mnogim teorijama fizike. Stoga je uobičajeno poznata kao (neoslabljena) 3D jednačina vala.